z.z. Cauchy-Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Skyside |
| Aufgabe | Es sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine reelle Zahlenfolge mit [mm] |a_{n+1}-a_{n}|\le 3^{-n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Weisen Sie nach, dass [mm] (a_{n}) [/mm] eine Cauchy-Folge ist.
Hinweis: Mehrfaches Anwenden der Dreiecksungleichung und geometrische Reihe.
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# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt |
Hallo,
ich sitze an dieser Aufgabe und komme einfach nicht auf den richtige Ansatz.
Könnt ihr mir helfen?
Gruss und danke im Voraus
Skyside
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> Es sei [mm](a_{n})[/mm] eine reelle Zahlenfolge mit
> [mm]|a_{n+1}-a_{n}|\le 3^{-n}[/mm] für alle [mm]n\in\IN.[/mm] Weisen Sie
> nach, dass [mm](a_{n})[/mm] eine Cauchy-Folge ist.
> Hinweis: Mehrfaches Anwenden der Dreiecksungleichung und
> geometrische Reihe.
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> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
> Hallo,
>
> ich sitze an dieser Aufgabe und komme einfach nicht auf den
> richtige Ansatz.
> Könnt ihr mir helfen?
Du musst also zeigen, dass es für jedes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_0$ [/mm] gibt, so dass für alle [mm] $m,n>n_0$ [/mm] gilt: [mm] $|a_n-a_m|<\varepsilon$
[/mm]
Lassen wir die Frage der Wahl von [mm] $n_0$ [/mm] (in Abhängigkeit von einem vorgegebenen [mm] $\varepsilon>0$) [/mm] zuerst noch offen, nehmen wir aber an, es sei ein [mm] $n_0$ [/mm] festgelegt und es sei zudem [mm] $n\geq m>n_0$. [/mm] Dann zeigt eine wiederholte Anwendung der Dreiecksungleichung, dass
[mm]|a_n-a_m|\leq |a_n-a_{n-1}|+|a_{n-1}-a_{n-2}|+\cdots+|a_{m+1}-a_m|[/mm]
Die rechte Seite dieser Ungleichung lässt sich nun, dank der vorausgesetzten Beziehung [mm] $|a_{n+1}-a_{n}|\le 3^{-n}$, [/mm] durch ein Reststück [mm] $\sum_{n=n_0}^\infty 3^{-n}$ [/mm] der geometrischen Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty 3^{-n}$ [/mm] von oben begrenzen, das für [mm] $n_0\rightarrow \infty$ [/mm] natürlich [mm] $\rightarrow [/mm] 0$ gehen muss. Daher existiert also zu jedem noch so kleinen vorgegebenen [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_0$, [/mm] mit der gewünschten Eigenschaft [mm] $|a_n-a_m|<\varepsilon$, [/mm] für alle [mm] $n,m>n_0$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:04 Fr 30.11.2007 | | Autor: | Kreide |
wozu hast du die dreicksungleichung benutzt? ich sehe das irgendwie nich ..;)
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> wozu hast du die dreicksungleichung benutzt? ich sehe das
> irgendwie nich ..;)
Hallo,
weil man damit dann die Voraussetzung
>>> Es sei $ [mm] (a_{n}) [/mm] $ eine reelle Zahlenfolge mit $ [mm] |a_{n+1}-a_{n}|\le 3^{-n} [/mm] $ für alle $ [mm] n\in\IN. [/mm] $
zum Abschätzen von
>> $ [mm] |a_n-a_m|\leq |a_n-a_{n-1}|+|a_{n-1}-a_{n-2}|+\cdots+|a_{m+1}-a_m| [/mm] $
verwenden kann, was ja Somebody bereits schrieb.
Gruß v. Angela
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