z-Transformation; Minuszeichen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 So 05.04.2015 | | Autor: | Marcel |
| Aufgabe | Hallo,
nur mal kurz eine Frage: Bei einer Zahlenfolge
[mm] $y=(y_k)_{k \in \IN_0}$
[/mm]
definiert man, etwa in der Signaltheorie, die zugehörige z-Transformierte
[mm] $Y:=\mathcal{Z}(y)=\mathcal{Z}((y_k)_k)$ [/mm] über
[mm] $Y(z):=\sum_{k=-\infty}^\infty y_kz^{\red{\,-\,}k}$ [/mm] (man läßt auch *allgemeinere* Folgen zu
(Indizes in [mm] $\IZ$), [/mm] daher das [mm] $-\infty$ [/mm] unter dem Summenzeichen)
Ich frage mich gerade nur: Im Endeffekt macht man ja nichts anderes, als
eine gewisse zugehörige Laurent-Reihe hinzuschreiben. Wieso steht dabei
aber das Minuszeichen im Exponenten?
Es scheint eine Überlegung dahinterzustecken, denn ich habe einfach mal
gerade mit der Fibonacci-Folge gerechnet, und dabei so getan, als ob die
z-Transformierte eben ohne das Minus definiert werde, und meine explizite
Formel für die Fibonacci-Folge wäre demnach
[mm] $f_k=\frac{2^{k+1}}{\sqrt{5}}*\left(\frac{1}{(1-\sqrt{5})^{k+1}}-\frac{1}{(1+\sqrt{5})^{k+1}}\right)$
[/mm]
Betragsmäßig passt das (sofern man die Folge mit [mm] $f_0=1, \;f_1=1,\;f_2=2,\;...$ [/mm] starten
läßt und nicht mit [mm] $f_0=0$).
[/mm]
Aber das Vorzeichen stimmt nicht immer (nur bei ungeraden k passt es).
Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten: Ich habe mich entweder einfach irgendwo
verrechnet; oder aber das Minuszeichen bei der Definition der z-Transformierten
ist durchdacht. |
Falls ich mich nicht verrechnet habe: weiß jemand, wieso das Minus-Zeichen
seinen Grund hat?
In den Definitionen steht da nichts dabei; jedenfalls habe ich noch in keiner
Literatur eine Begründung dazu gesehen.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:24 Mo 06.04.2015 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo Marcel,
Meines Wissens nach ist das lediglich eine historisch gewachsene Konvention...
Lg Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Mo 06.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Thomas,
> Hallo Marcel,
>
>
> Meines Wissens nach ist das lediglich eine historisch
> gewachsene Konvention...
okay. Infinit sieht das ein wenig anders, bzw. im Endeffekt spielt dabei weil
*die Motivation* eine Rolle, wo man die z-Transformation hernimmt.
Vielleicht sehe ich aber demnächst auch, dass diese Definition zur Formulierung
gewisser Rechenregeln günstig(er) ist; alles, was ich bislang aber gelesen
habe, erscheint mir ziemlich elementar und würde auch bei der Definition,
die ich *alternativ erstmal einfach vorschlagen will*, gelten, sofern ich nichts
übersehe.
Merkwürdig ist halt mein Ergebnis bei der Herleitung einer expliziten Formel
für die Fibonaccifolge - ich habe zwar stark das Gefühl, dass ich mich da
sicher irgendwo verrechnet habe (ein multiplikatives [mm] $(-1)^k$ [/mm] würde mein Ergebnis
ja *korrigieren*), sehe aber keinen Rechenfehler...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:27 Mo 06.04.2015 | | Autor: | Infinit |
Hallo Marcel,
häufig nutzt man ja nur die einseitige z-Transformation und hier ist das Minuszeichen dadurch gegeben, dass man die Herleitung über die Laplacetansformierte einer diskreten Zeitfolge hinschreibt, die den Abtastabstand T besitzt:
[mm] L(f_d(t)) = F_d (s)= \sum_{n=0}^{\infty} f(nT)e^{-nsT} [/mm]
Mit der neuen komplexen Variablen
[mm] z = e^{sT} [/mm], kommt man dann auf die Form
[mm] L(f(nT)) = \sum_{n=0}^{\infty} f(nT) z^{-n} = F(z) [/mm]
Dies wäre die einseitige z-Transformation einer diskreten Zeitfunktion [mm] f(nT) [/mm].
Der Grund für das negative Vorzeichen im Exponenten ist, dass man dadurch die Möglichkeit hat, mit Hilfe der geometrischen Reihe einen geschlossenen Ausdruck für den Summenausdruck zu gewinnen.
Für die berühmte Schrittfunktion, die konstant den Wert 1 für [mm] n \geq 0 [/mm] besitzt, kriegt man dann beispielsweise
[mm] F(z) = 1 + z^{-1} + z^{-2}+ \ldots = \bruch{z}{z-1} [/mm]
Für die zweiseitge z-Transformation erweitert man das Ganze zu negativen Indizes hin.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:05 Mo 06.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Infinit,
> Hallo Marcel,
> häufig nutzt man ja nur die einseitige z-Transformation
> und hier ist das Minuszeichen dadurch gegeben, dass man die
> Herleitung über die Laplacetansformierte einer diskreten
> Zeitfolge hinschreibt, die den Abtastabstand T besitzt:
> [mm]L(f_d(t)) = F_d (s)= \sum_{n=0}^{\infty} f(nT)e^{-nsT}[/mm]
>
> Mit der neuen komplexen Variablen
> [mm]z = e^{sT} [/mm], kommt man dann auf die Form
> [mm]L(f(nT)) = \sum_{n=0}^{\infty} f(nT) z^{-n} = F(z)[/mm]
das klingt einleuchtend.
> Dies
> wäre die einseitige z-Transformation einer diskreten
> Zeitfunktion [mm]f(nT) [/mm].
> Der Grund für das negative
> Vorzeichen im Exponenten ist, dass man dadurch die
> Möglichkeit hat, mit Hilfe der geometrischen Reihe einen
> geschlossenen Ausdruck für den Summenausdruck zu
> gewinnen.
Das funktioniert wegen
[mm] $\sum_{k=0}^\infty z^k=\frac{1}{1-z}$ [/mm] (für alle (komplexen) $|z| < 1$)
aber auch ohne das Minuszeichen.
> Für die berühmte Schrittfunktion, die konstant den Wert
> 1 für [mm]n \geq 0[/mm] besitzt, kriegt man dann beispielsweise
> [mm]F(z) = 1 + z^{-1} + z^{-2}+ \ldots = \bruch{z}{z-1} [/mm]
Klar, s.o.: [mm] $\frac{1}{1-1/z}=\frac{z}{z-1}$ [/mm] für $|1/z|<1,$ also [mm] $|z|\,>\,1$.
[/mm]
> Für die zweiseitge z-Transformation erweitert man das
> Ganze zu negativen Indizes hin.
Wie gesagt: Das Prinzip ist nichts anderes, als dass man dann die
*zugehörige* Laurentreihe hinschreibt (nach einer "Spiegelung"; denn
ich würde für [mm] $(a_{k})_{k=-\infty}^\infty$ [/mm] eben
[mm] $\sum_{k=-\infty}^\infty a_k z^{\red{\,+\,}k}$
[/mm]
bilden wollen, nicht
[mm] $\sum_{k=-\infty}^\infty a_k z^{\red{\,-\,}k} \equiv \sum_{k=-\infty}^\infty a_{\red{\,-\,}k} z^{\red{\,+\,}k}$;
[/mm]
letzteres wäre für mich angebracht bei [mm] $(a_{\red{-\,}k})_{k=-\infty}^\infty$). [/mm]
Nun habe ich aber einfach mal
[mm] $Y(z):=\sum_{k=0}^\infty [/mm] y[k] [mm] z^{\red{\,+\,}k}$
[/mm]
definiert für (ich benutze die Notationen der Signaltheorie)
$y[k]=y[k-1]+y[k-2]+1$ für $k [mm] \in \IN_0$ [/mm] mit zudem $y[-2]=y[-1]:=0$.
Dann habe ich genauso gerechnet, wie man es mit der *eigentlichen*
z-Transformation macht, um eine explizite Formel für $y[k]$ herzuleiten; leider
passt das Ergebnis dann aber nicht wirklich - es passt für gerade k halt nicht
vom Vorzeichen her.
Habe ich dabei also irgendwas übersehen? Ich kann auch gerne die Rechnung
hier vorstellen, vielleicht aber nur mal der Anfang:
$y[k]=y[k-1]+y[k-2]+1$
geht dann über in
$Y(z) [mm] \equiv z*Y(z)+z^2*Y(z)+1$ [/mm]
bzw.
$Y(z) [mm] \equiv \frac{1}{1-z-z^2}\,.$
[/mm]
Letztstehendes bringe man (Partialbruchzerlegung!) in die Form
[mm] $Y(z)\equiv \frac{A}{z-a}+\frac{B}{z-b}$
[/mm]
und anschließend
$Y(z) [mm] \equiv \frac{-A}{a}*\frac{1}{1-\frac{z}{a}}+\frac{-B}{b}*\frac{1}{1-\frac{z}{b}}$
[/mm]
und dann vergleiche man mit der geometrischen Reihe!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mi 08.04.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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