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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - y''-y' = sinx
y''-y' = sinx < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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y''-y' = sinx: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:37 Do 15.10.2009
Autor: GreatBritain

Aufgabe
[mm] $$\frac{d^2}{dx^2} [/mm] - [mm] \frac{dy}{dx} [/mm] = sinx$$

hier mal mein Lösungsversuch

Homogene Lösung mittels Hilfsgleichung:
[mm] $m^2 [/mm] - m = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] m(m-1) = 0 [mm] \Leftrightarrow m_1 [/mm] = 0, [mm] m_2 [/mm] = 1$
[mm] $\Rightarrow y_h [/mm] = A + [mm] Be^x$ [/mm]

Partikuläre Lösung:
[mm] $y_p [/mm]  = Csinx + Dcosx$
[mm] $y_p' [/mm]  = Ccosx - Dsinx$
[mm] $y_p'' [/mm] = -Csinx - Dcosx$

[mm] $\Rightarrow [/mm] -Csinx - Dcosx -Ccosx + Dsinx = sinx$

ok, das müsste ich jetzt irgendwie nach der Konstanten auflösen - aber ich krieg es beim besten Willen nicht hin. Ist das bis hierhin überhaupt richtig? Wie löse ich den letzten Term nach der Konstanten auf? Ich blick das irgendwie nicht so richtig...

Danke, Gruß GB

        
Bezug
y''-y' = sinx: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:45 Do 15.10.2009
Autor: fred97


> [mm]\frac{d^2}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = sinx[/mm]
>  hier mal mein
> Lösungsversuch
>  
> Homogene Lösung mittels Hilfsgleichung:
>  [mm]m^2 - m = 0 \Leftrightarrow m(m-1) = 0 \Leftrightarrow m_1 = 0, m_2 = 1[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow y_h = A + Be^x[/mm]
>  
> Partikuläre Lösung:
>  [mm]y_p = Csinx + Dcosx[/mm]
>  [mm]y_p' = Ccosx - Dsinx[/mm]
>  [mm]y_p'' = -Csinx - Dcosx[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow -Csinx - Dcosx -Ccosx + Dsinx = sinx[/mm]

Es folgt: $(D-C)sin(x) -(D+C)cos(x) = sin(x)$


Koeffizientenvergleich liefert:

        D-C = 1 und D+C = 0

So, jetzt Du

FRED

>  
> ok, das müsste ich jetzt irgendwie nach der Konstanten
> auflösen - aber ich krieg es beim besten Willen nicht hin.
> Ist das bis hierhin überhaupt richtig? Wie löse ich den
> letzten Term nach der Konstanten auf? Ich blick das
> irgendwie nicht so richtig...
>  
> Danke, Gruß GB


Bezug
                
Bezug
y''-y' = sinx: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Do 15.10.2009
Autor: GreatBritain


> > [mm]\frac{d^2}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = sinx[/mm]
>  >  hier mal mein
> > Lösungsversuch
>  >  
> > Homogene Lösung mittels Hilfsgleichung:
>  >  [mm]m^2 - m = 0 \Leftrightarrow m(m-1) = 0 \Leftrightarrow m_1 = 0, m_2 = 1[/mm]
>  
> >  

> > [mm]\Rightarrow y_h = A + Be^x[/mm]
>  >  
> > Partikuläre Lösung:
>  >  [mm]y_p = Csinx + Dcosx[/mm]
>  >  [mm]y_p' = Ccosx - Dsinx[/mm]
>  >  
> [mm]y_p'' = -Csinx - Dcosx[/mm]
>  >  
> > [mm]\Rightarrow -Csinx - Dcosx -Ccosx + Dsinx = sinx[/mm]
>  
> Es folgt: [mm](D-C)sin(x) -(D+C)cos(x) = sin(x)[/mm]
>  
>
> Koeffizientenvergleich liefert:
>  
> D-C = 1 und D+C = 0
>  
> So, jetzt Du
>  
> FRED

Koeffizietenvergleich - den Anstoß hab ich gebraucht ;-). Also:
$C = [mm] -\frac{1}{2}, [/mm] D = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow y_p [/mm] = [mm] -\frac{1}{2}sinx [/mm] + [mm] \frac{1}{2} [/mm] cosx = [mm] \frac{1}{2} [/mm] (cosx - sinx)$
Als Lösung ergibt sich:
$y(x) = [mm] y_h [/mm] + [mm] y_p [/mm] = A + [mm] Be^x [/mm] + [mm] \frac{cosx - sinx}{2}$ [/mm]

Richtig?
Vielen Dank für deine Hilfe!!


>  >  
> > ok, das müsste ich jetzt irgendwie nach der Konstanten
> > auflösen - aber ich krieg es beim besten Willen nicht hin.
> > Ist das bis hierhin überhaupt richtig? Wie löse ich den
> > letzten Term nach der Konstanten auf? Ich blick das
> > irgendwie nicht so richtig...
>  >  
> > Danke, Gruß GB  

Bezug
                        
Bezug
y''-y' = sinx: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 Do 15.10.2009
Autor: fred97


> > > [mm]\frac{d^2}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = sinx[/mm]
>  >  >  hier mal
> mein
> > > Lösungsversuch
>  >  >  
> > > Homogene Lösung mittels Hilfsgleichung:
>  >  >  [mm]m^2 - m = 0 \Leftrightarrow m(m-1) = 0 \Leftrightarrow m_1 = 0, m_2 = 1[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > [mm]\Rightarrow y_h = A + Be^x[/mm]
>  >  >  
> > > Partikuläre Lösung:
>  >  >  [mm]y_p = Csinx + Dcosx[/mm]
>  >  >  [mm]y_p' = Ccosx - Dsinx[/mm]
>  >

>  >  
> > [mm]y_p'' = -Csinx - Dcosx[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]\Rightarrow -Csinx - Dcosx -Ccosx + Dsinx = sinx[/mm]
>  >  
> > Es folgt: [mm](D-C)sin(x) -(D+C)cos(x) = sin(x)[/mm]
>  >  
> >
> > Koeffizientenvergleich liefert:
>  >  
> > D-C = 1 und D+C = 0
>  >  
> > So, jetzt Du
>  >  
> > FRED
>  
> Koeffizietenvergleich - den Anstoß hab ich gebraucht ;-).
> Also:
>  [mm]C = -\frac{1}{2}, D = \frac{1}{2}[/mm]
>  [mm]\Rightarrow y_p = -\frac{1}{2}sinx + \frac{1}{2} cosx = \frac{1}{2} (cosx - sinx)[/mm]
>  
> Als Lösung ergibt sich:
>  [mm]y(x) = y_h + y_p = A + Be^x + \frac{cosx - sinx}{2}[/mm]
>  
> Richtig?


Ja

FRED


>  Vielen Dank für deine Hilfe!!
>  
>
> >  >  

> > > ok, das müsste ich jetzt irgendwie nach der Konstanten
> > > auflösen - aber ich krieg es beim besten Willen nicht hin.
> > > Ist das bis hierhin überhaupt richtig? Wie löse ich den
> > > letzten Term nach der Konstanten auf? Ich blick das
> > > irgendwie nicht so richtig...
>  >  >  
> > > Danke, Gruß GB  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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