y''+2xy'+2y=0 < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Verfy that [mm] $y_1 [/mm] = [mm] \exp(-x^2)$ [/mm] is a solution of the differential equation $y'' + 2xy' + 2y = 0$, subject to $y(0)=1,~y'(0)=0$. Verify by direct calculation that is a solution. Now suppose you have a solution of the form [mm] $y_2 [/mm] = [mm] u(x)y_1(x)$. [/mm] Find a differential equation satisfied by $u(x)$ and hence find a second independent solution to the differential equation in integral from (you should not attempt to simplify the integral). |
Ich habe die Aufgabenstellung mal im Original gelassen, aus Angst bei der Übersetzung irgendwas wichtiges zu verschlucken. [mm] \\
[/mm]
Zu Teil 1 der Aufgabe: [mm] \\
[/mm]
[mm] $y_1 [/mm] = [mm] \exp(-x^2),~~y_1' [/mm] = [mm] \exp(-x^2) \cdot [/mm] (-2x) = [mm] -2x\exp(-x^2),~~y'' [/mm] = [mm] \exp(-x^2)\cdot 4x^2 [/mm] - [mm] 2\exp(-x^2)$\\
[/mm]
Das habe ich in die ODE eingesetzt: [mm] \\
[/mm]
$y(x) = [mm] \exp(-x^2)\cdot 4x^2 [/mm] - [mm] 2\exp(-x^2) [/mm] - [mm] 4x^2\exp(-x^2) [/mm] + [mm] 2\exp(-x^2) [/mm] = 0$, [mm] \\ [/mm] das soll auch rauskommen, also ist gezeigt, dass [mm] $y_1 [/mm] = [mm] \exp(-x^2)$ [/mm] eine Lösung ist. [mm] \\
[/mm]
Allerdings frage ich mich, was das "subject to $y(0)=1,~y'(0)=0$" bedeuten soll, weil diese Anfangswerte habe ich ja nicht verwendet... [mm] \\
[/mm]
Zu Teil [mm] 2:\\
[/mm]
[mm] $y_2 [/mm] = u [mm] \cdot y_1 [/mm] = u [mm] \cdot \exp(-x^2)$\\
[/mm]
[mm] $y_2'= u'\cdot y_1 [/mm] + [mm] u\cdot y_1' [/mm] = u' [mm] \cdot \exp(-x^2) [/mm] - [mm] u\cdot 2x\exp(-x^2)$\\
[/mm]
[mm] $y_2''=u''\cdot y_1 [/mm] + [mm] 2u'\cdot y_1' [/mm] + [mm] u\cdot y_1'' [/mm] = [mm] u''\cdot \exp(-x^2) [/mm] - [mm] 4xu'\cdot \exp(-x^2) [/mm] + u [mm] \cdot \exp(-x^2)(4x^2 [/mm] - [mm] 2)$\\
[/mm]
Das habe ich ebenfalls in die ODE der Aufgabenstellung eingesetzt und [mm] $\exp(-x^2)$ [/mm] gleich rausgekürzt: [mm] \\
[/mm]
$u'' - 4xu' + [mm] u(4x^2 [/mm] - 2) + 2xu' - 4x^2u + 2u = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] u'' - 2xu' = [mm] 0$\\
[/mm]
Dann setze ich $w = u'$, also $w' - 2xw = 0$ und verwende den integrierenden Faktor $I(x) = [mm] \exp(\int [/mm] -2x dx) = [mm] \exp(-x^2)$\\
[/mm]
Und schließlich die Resubstitution: $u = [mm] \int [/mm] w = [mm] \int \frac{1}{I(x)} [/mm] = [mm] \int \frac{1}{\exp(-x^2)} [/mm] = [mm] \int \exp(x^2)$
[/mm]
Stimmt das soweit? Mein Gefühl sagt mir irgendwie, dass das Ergebnis [mm] $\int \exp(-x^2)$ [/mm] sein sollte - aufgrund des 1. Ergebnisses - ich habs aber schon mehrfach nachgerechnet und keinen Vorzeichenfehler finden könnte. Findet ihn jemand, oder ist das schon richtig so?
Wäre super, wenn mir jemand mein Ergebnis bestätigen oder ggf. korrigieren könnte!
Gruß und Dank, GB
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Mo 19.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Ergebnis ist richtig.
zur ersten Frage:
Die Loesung hat ja diese anfangswerte, ist also keine allgemeine Loesung. [mm] A*e^{-x^2} [/mm] waer ja auch ne Loesung mit anderem Anfangswert!
Gruss leduart
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> Hallo
> Das Ergebnis ist richtig.
> zur ersten Frage:
> Die Loesung hat ja diese anfangswerte, ist also keine
> allgemeine Loesung. [mm]A*e^{-x^2}[/mm] waer ja auch ne Loesung mit
> anderem Anfangswert!
hm - das ist natürlich richtig  hab ich total übersehen.
vielen lieben Dank fürs Anschauen!
Gruß GB
> Gruss leduart
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