x^x Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie die Ableitung der Funktion [mm] f(x)=x^\wurzel{x} [/mm] |
Hallo.
Zunächst habe ich mal [mm] x^x [/mm] abgeleitet und zwar folgendermaßen:
[mm] f(x)=x^{x}
[/mm]
[mm] x=e^a [/mm] Daraus folgt:
ln(x)=a
Daraus folgt:
[mm] e^{ln(x)}=x \Rightarrow x^{x}=(e^{ln(x)})^{x}=e^{x*ln(x)}=f(x)
[/mm]
Hier mal eine Frage:
Ich leite nach der Kettenregel ab, wofür ich die FUnktion in Ihre "Einzelglieder" aufschreibe:
v: x->ln(x)*x=y
u: [mm] y->e^y
[/mm]
u(v(x))=f(x) [mm] \rightarrow [/mm] f'(x)=u’(v(x))*v'(x)
Nun gehe wende Ich die Produktregel für v'(x) an:
v'(x)= (ln(x))'*x+(x)'*ln(x)
[mm] =\bruch{1}{x}*x+ln(x)
[/mm]
=1+ln(x)
Nun finde ich die schreibweise total verwirrend:
Gemäßg der Kettenregel gilt es ja nun u(v(x)) abzu leiten, also u'(v(x)).
[mm] u(v(x))=e^y [/mm] bzw. [mm] e^{x*ln(x)}, [/mm] darum müsste ich ja [mm] e^{x*ln(x)} [/mm] ableiten und somit wäre ich wieder am Anfang.
Damit würde ich mich ja in einer endlos Schleife drehen.
Deswegen finde ich das etwas verwirrend.
Ich weiß, dass ich jetzt jedoch nur noch [mm] e^{x*ln(x)}*(ln(x)+1)=x^x*(ln(x)+1) [/mm] dort stehen habe, wobei ich mich gerade an dieser Schleife aufhänge.
Für [mm] x^{\wurzel{x}} [/mm] habe ich folgendes raus:
[mm] x^{\wurzel{x}}= e^{\wurzel{x}*ln(x)}
[/mm]
Wieder ableiten wie oben beschreiben (auch hier wieder das "Schleifenproblem") und ich komme auf:
[mm] (\bruch{1}{x}*\wurzel{x}+\bruch{1}{2*\wurzel{x}}*ln(x))*x^{\wurzel{x}}
[/mm]
Und das ist [mm] (\bruch{\wurzel{x}}{x}+\bruch{ln(x)}{2\wurzel{x}})*x^{\wurzel(x)}
[/mm]
Ist das so richtig?
Über Hilfe würde ich mich freuen und falls ihr meine Frage nicht versteht, so versuche ich sie nochmal anders zu formulieren.
Viele Grüße
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Hallo Masseltof,
> Berechnen Sie die Ableitung der Funktion [mm]f(x)=x^\wurzel{x}[/mm]
> Hallo.
>
> Zunächst habe ich mal [mm]x^x[/mm] abgeleitet und zwar
> folgendermaßen:
>
> [mm]f(x)=x^{x}[/mm]
>
> [mm]x=e^a[/mm] Daraus folgt:
> ln(x)=a
> Daraus folgt:
> [mm]e^{ln(x)}=x \Rightarrow x^{x}=(e^{ln(x)})^{x}=e^{x*ln(x)}=f(x)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Für [mm]a>0[/mm] ist [mm]a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}[/mm]
Also für [mm]x>0[/mm] dann [mm]f(x)=x^x=e^{x\cdot{}\ln(x)}[/mm]
Passt also!
>
> Hier mal eine Frage:
>
> Ich leite nach der Kettenregel ab, wofür ich die FUnktion
> in Ihre "Einzelglieder" aufschreibe:
> v: x->ln(x)*x=y
> u: [mm]y->e^y[/mm]
>
> u(v(x))=f(x) [mm]\rightarrow[/mm] f'(x)=u’(v(x))*v'(x)
>
> Nun gehe wende Ich die Produktregel für v'(x) an:
> v'(x)= (ln(x))'*x+(x)'*ln(x)
> [mm]=\bruch{1}{x}*x+ln(x)[/mm]
> =1+ln(x)
>
> Nun finde ich die schreibweise total verwirrend:
> Gemäßg der Kettenregel gilt es ja nun u(v(x)) abzu
> leiten, also u'(v(x)).
> [mm]u(v(x))=e^y[/mm] bzw. [mm]e^{x*ln(x)},[/mm] darum müsste ich ja
> [mm]e^{x*ln(x)}[/mm] ableiten und somit wäre ich wieder am Anfang.
Nein, das stimmt doch, was du sagst, das [mm]v(x)[/mm] ist selber wieder verkettet (bzw. ein Produkt: [mm]v(x)=x\ln(x)[/mm]), also musst du für die Ableitung die Produktregel nehmen ...
>
> Damit würde ich mich ja in einer endlos Schleife drehen.
Ich sehe keine Schleife:
[mm]\left[e^{x\cdot{}\ln(x)}\right]'=\underbrace{e^{x\cdot{}\ln(x)}}_{\text{äußere Ableitung}} \ \cdot{} \ \underbrace{\left[x\cdot{}\ln(x)\right]'}_{\text{innere Ableitung}}[/mm]
[mm]=e^{x\cdot{}\ln(x)} \ \cdot{} \ \left(1+\ln(x)\right)[/mm]
[mm]=x^x\cdot{}(1+\ln(x))[/mm]
Fertig, ich sehe keine Schleife ...
> Deswegen finde ich das etwas verwirrend.
>
>
> Ich weiß, dass ich jetzt jedoch nur noch
> [mm]e^{x*ln(x)}*(ln(x)+1)=x^x*(ln(x)+1)[/mm] dort stehen habe, wobei
> ich mich gerade an dieser Schleife aufhänge.
Was für eine Schleife denn? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
>
> Für [mm]x^{\wurzel{x}}[/mm] habe ich folgendes raus:
>
> [mm]x^{\wurzel{x}}= e^{\wurzel{x}*ln(x)}[/mm]
Für $x>0$
>
> Wieder ableiten wie oben beschreiben (auch hier wieder das
> "Schleifenproblem") und ich komme auf:
>
> [mm](\bruch{1}{x}*\wurzel{x}+\bruch{1}{2*\wurzel{x}}*ln(x))*x^{\wurzel{x}}[/mm]
>
> Und das ist
> [mm](\bruch{\wurzel{x}}{x}+\bruch{ln(x)}{2\wurzel{x}})*x^{\wurzel(x)}[/mm]
>
> Ist das so richtig?
>
> Über Hilfe würde ich mich freuen und falls ihr meine
> Frage nicht versteht, so versuche ich sie nochmal anders zu
> formulieren.
Ja, formuliere unbedingt nochmal das "Schleifenproblem"
Du hast doch alles richtig und bis zuende abgeleitet ...
>
> Viele Grüße
Ebenso
schachuzipus
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Hallo und danke für die schnelle Antwort :)
Also ich meine damit folgendes:
Meine Funktion lautet:
[mm] e^{x*ln(x)}=f(x)
[/mm]
f(x) schreibe ich in [mm] (v\circ{u})(x).
[/mm]
u: x [mm] \to [/mm] x*ln(x)
gesprochen: u ist jene Funktion, die jedem Wert x den Wert x*ln(x) zuordnet.
v: y [mm] \to e^y [/mm]
gesprochen: v ist jene Funktion, die jedem Wert y den Wert [mm] e^y [/mm] zuordnet.
Wobei gilt: y=u(x)=x*ln(x) [mm] \Rightarrow v(y)=v(u(x))=v(x*ln(x))=e^{x*ln(x)}
[/mm]
Kettenregel: v(u(x))=f(x)
Ableiten: v'(u(x))*u'(x)
u'(x)= (ln(x)*x)‘
v'(u(x))= [mm] (e^{x*ln(x)})' [/mm]
Wenn ich aber [mm] e^{x*ln(x)} [/mm] wieder ableiten möchte, so erhalte ich ja wieder und wieder und wieder die Formel u'(x)*v'(u(x)).
Das meine ich mit dieser Schleife.
Wobei ich ja auch sagen könne [mm] v'(u(x))=v'(y)=(e^y)‘=e^y=e^{x*ln{x}}
[/mm]
Ich hoffe ihr/du seht mein Problem und könnt mir behiflich sein.
Danke im Voraus.
Grüße :)
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Hallo nochmal,
> Hallo und danke für die schnelle Antwort :)
>
> Also ich meine damit folgendes:
>
> Meine Funktion lautet:
>
> [mm]e^{x*ln(x)}=f(x)[/mm]
>
> f(x) schreibe ich in [mm](v\circ{u})(x).[/mm]
>
> u: x [mm]\to[/mm] x*ln(x)
>
> gesprochen: u ist jene Funktion, die jedem Wert x den Wert
> x*ln(x) zuordnet.
>
> v: y [mm]\to e^y[/mm]
>
> gesprochen: v ist jene Funktion, die jedem Wert y den Wert
> [mm]e^y[/mm] zuordnet.
>
> Wobei gilt: y=u(x)=x*ln(x) [mm]\Rightarrow v(y)=v(u(x))=v(x*ln(x))=e^{x*ln(x)}[/mm]
>
> Kettenregel: v(u(x))=f(x)
> Ableiten: v'(u(x))*u'(x)
>
> u'(x)= (ln(x)*x)‘
Alles gut bis hierhin!
> v'(u(x))= [mm](e^{x*ln(x)})'[/mm]
Das nach dem "=" ist [mm]f'(x)[/mm] !!
[mm]v'[/mm] an der Stelle [mm]u(x)[/mm] ist die Ableitung der e-Funktion an der Stelle [mm]u(x)[/mm]
Mit deiner Bezeichnung oben also [mm]v'(y=u(x))=\left[e^y\right]'\big |_{y=u(x)}[/mm]
[mm]=e^y\big |_{y=u(x)}=e^{u(x)}=e^{x\ln(x)}[/mm]
>
> Wenn ich aber [mm]e^{x*ln(x)}[/mm] wieder ableiten möchte, so
> erhalte ich ja wieder und wieder und wieder die Formel
> u'(x)*v'(u(x)).
> Das meine ich mit dieser Schleife.
Ja, das ist aber keine, du hast dich selber reingelegt 
>
> Wobei ich ja auch sagen könne
> [mm]v'(u(x))=v'(y)=(e^y)‘=e^y=e^{x*ln{x}}[/mm]
Aha, hier machst du's richtig!
Damit steht doch genau die äußere Ableitung, wie wir sie brauchen!
>
> Ich hoffe ihr/du seht mein Problem und könnt mir behiflich
> sein.
>
> Danke im Voraus.
>
> Grüße :)
LG
schachuzipus
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Hallo und danke für die Antwort.
Ich denke, dass mein Problem genau bei folgender Aussage liegt.
[mm] f(x)=v(u(x))=e^{x*ln(x)}
[/mm]
[mm] f'(x)=(e^{x*ln(x)})'
[/mm]
Deswegen schlussfolgere ich daraus:
[mm] v'(u(x))=(e^{x*ln(x)})'
[/mm]
f beschreibt ja jene Funktion, die jedem Wert x den Wert [mm] e^{x*ln(x)} [/mm] zuordnet.
v jedoch beschreibt jene Funktion, die jedem Wert y den Wert [mm] e^y [/mm] zuordnet.
Da liegt doch der Unterschied drin,oder?
Und dazu noch eine kleine Frage:
Wenn ich v als Funktion y [mm] \mapsto e^y [/mm] definiere, kann ich die Variable theoretisch mit x vertauschen, wenn alle x in M liegen einer Teilmenge der Definitionsmenge von y und alle [mm] e^x [/mm] in N liegen ener Teilmenge der Wertemenge von [mm] e^y [/mm] ?
Viele Grüße und danke im Voraus.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Do 16.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo.
Zu [mm] x^\wurzel{x} [/mm] und meiner Lösung für die Ableitung:
[mm] x^{\wurzel{x}}*(\bruch{\wurzel{x}}{x}+\bruch{ln(x)}{2\wurzel{x}} [/mm] hätte ich noch eine Frage.
Kann man das weiter kürzen?
Wir haben nämlich mehrere Lösungen zur Auswahl von der wir eine ankreuzen soll und meine steht nicht mit dabei.
Das einzige was dem ähnelt ist folgende Lösung:
[mm] x^{\wurzel{x}}*(\bruch{1}{x}+\bruch{ln(x)}{2\wurzel{x}}
[/mm]
Ansonsten gibt es dort Antworten wie:
[mm] \frac{x}{\sqrt{x}}\,\left(\log{\sqrt{x}}\,+\,1\right)\,\sqrt{x}^{\sqrt{x}}
[/mm]
[mm] \left(\log\sqrt{x}\,+\,1\right)\,x^{\sqrt{x}}
[/mm]
[mm] \frac{\log{{x}^{\sqrt{x}}}}{x^\sqrt{x}}
[/mm]
Aber durch Umformungen komme ich nicht auf diese Antworten.
Habe ich doch einen Fehler gemacht? Oder kann man das noch weiter umformen?
Über Hilfe würde ich mich freuen.
Grüße und danke im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Tag!
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> Zu [mm]x^\wurzel{x}[/mm] und meiner Lösung für die Ableitung:
>
> [mm]x^{\wurzel{x}}*(\bruch{\wurzel{x}}{x}+\bruch{ln(x)}{2\wurzel{x}}[/mm]
> hätte ich noch eine Frage.
>
> Kann man das weiter kürzen?
Man kann es anders zusammenfassen. Ob das sinnvoll ist, hängt von der weiteren Aufgabenstellung ab.
> Wir haben nämlich mehrere Lösungen zur Auswahl von der
> wir eine ankreuzen soll und meine steht nicht mit dabei.
>
> Das einzige was dem ähnelt ist folgende Lösung:
> [mm]x^{\wurzel{x}}*(\bruch{1}{x}+\bruch{ln(x)}{2\wurzel{x}}[/mm]
>
Das ist falsch. Der Drucker hat eine Wurzel vergessen:
[mm]x^{\wurzel{x}}*\left( \bruch{1}{\sqrt{x}}+\bruch{ln(x)}{2\wurzel{x}} \right)[/mm]
Du kannst jetzt die Summe innerhalb der Klammer zusammenfassen:
[mm]x^{\wurzel{x}}*\left( \bruch{1}{\sqrt{x}}+\bruch{ln(x)}{2\wurzel{x}} \right) = x^{\wurzel{x}}*\left( \bruch{2+ln(x)}{2\wurzel{x}} \right)[/mm]
> Grüße und danke im Voraus.
>
Salve
Pappus
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Hallo und danke für die Antwort.
Das weicht aber auch von meiner Lösung (s. 1 Mitteleiung) ab. Also habe ich einen Rechenfehler bei der Kettenregel gemacht, denke ich mal.
[mm] g(x)=ln(x)*\wurzel{x}
[/mm]
g'(x)= [mm] (ln(x))'*wurzel{x}+\ln(x)*(wurzel{x})‘
[/mm]
g'(x)= [mm] \bruch{1}{x}*\wurzel{x}+ln{x}*-\bruch{1}{2}*x^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
g'(x)= [mm] \bruch{\wurzel{x}}{x}+ [/mm] ln(x)* [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x}}
[/mm]
g'(x)= [mm] \bruch{\wurzel{x}}{x}+ \bruch{ln(x)}{2*\wurzel{x}}
[/mm]
Ich selbst sehe keinen Fehler und hoffe mal, dass die Antwort richtig ist, oder ihr den Fehler sieht.
Danke im Voraus.
Viele Grüße
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Hallo Masseltof,
alles richtig, bis auf einen Vertipper (denke ich):
> Das weicht aber auch von meiner Lösung (s. 1 Mitteleiung)
> ab.
Wieso? Dazu unten mehr.
> Also habe ich einen Rechenfehler bei der Kettenregel
> gemacht, denke ich mal.
> [mm]g(x)=ln(x)*\wurzel{x}[/mm]
> g'(x)= [mm](ln(x))'*wurzel{x}+\ln(x)*(wurzel{x})‘[/mm]
> g'(x)= [mm]\bruch{1}{x}*\wurzel{x}+ln{x}*\red{-}\bruch{1}{2}*x^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
Das rote Minus gehört da nicht hin. Es kommt aber weiter auch nicht vor, ich nehme daher an, dass es irrtümlich dahin gekommen ist.
> g'(x)= [mm]\bruch{\wurzel{x}}{x}+[/mm] ln(x)* [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{x}}[/mm]
> g'(x)= [mm]\bruch{\wurzel{x}}{x}+ \bruch{ln(x)}{2*\wurzel{x}}[/mm]
>
> Ich selbst sehe keinen Fehler und hoffe mal, dass die
> Antwort richtig ist, oder ihr den Fehler sieht.
Wie gesagt, alles gut.
Vielleicht siehst Du nur nicht, dass [mm] \bruch{\wurzel{x}}{x}=\bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] ist?
> Danke im Voraus.
>
> Viele Grüße
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke für die Antwort.
Ja das Minus ist leider unbeabsichtigt reingerutscht.
Danke pappus und reverend für den Hinweis mit [mm] \bruch{\wurzel(x)}{x}=\bruch{1}{\wurzel{x}}
[/mm]
Leider übersehe ich manchmal, dass sich ein Term durch Multiplikation mit "1" ändern kann :).
Danke vielmals!
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