wurzeln rationale zahlen < Fachdidaktik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Claudi85 |
| Aufgabe | sie folgenden aussagen sollen bewisen bzw. mit einem gegenbsp. widerlegt werden.
seien a,b zwei ungleiche, positive rationale zahlen, deren wurzel nicht positiv rational ist.
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[mm] \wurzel{a}+\wurzel{b} [/mm] ist nicht rational
richtig
[mm] \wurzel{a}-\wurzel{b} [/mm] ist nicht rational
richtig
ich habe beide beweise indirekt versucht, bin mir aber unsicher, ob das so stimmt.
annahme: [mm] \wurzel{a}+\wurzel{b} [/mm] ist rational, es existiert also eine darstellung der summe als [mm] \bruch{p}{q} [/mm] wobei p [mm] \in \IZ [/mm] und q [mm] \in \IN
[/mm]
da a und b rational sind, schreiben wir a als [mm] \bruch{s}{t} [/mm] und b als [mm] \bruch{u}{v}
[/mm]
[mm] \wurzel{a}+\wurzel{b} [/mm] = [mm] \bruch{p}{q} [/mm] quadrieren beider seiten ergibt
[mm] \bruch{s}{t}+\bruch{u}{v}+\blue{2\wurzel{ \bruch{su}{tv} }}= \bruch{p^{2}}{q^{2}}
[/mm]
da der blaue teil irrational laut vorraussetzung ist und die summe rationaler und irrationaler zahen irrational ist wäre p/q irrational widerspruch!
[mm] \wurzel{a}*\wurzel{b} [/mm] ist nicht rational
falsch, da z.b. a= 2/3 b= 3/2
[mm] \wurzel{a}/ \wurzel{b} [/mm] ist nicht rational
falsch, da z.b. a= 1/3 b=3/100
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Mi 06.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> sie folgenden aussagen sollen bewisen bzw. mit einem
> gegenbsp. widerlegt werden.
> seien a,b zwei ungleiche, positive rationale zahlen, deren
> wurzel nicht positiv rational ist.
>
>
> [mm]\wurzel{a}+\wurzel{b}[/mm] ist nicht rational
> richtig
>
> [mm]\wurzel{a}-\wurzel{b}[/mm] ist nicht rational
> richtig
>
> ich habe beide beweise indirekt versucht, bin mir aber
> unsicher, ob das so stimmt.
>
> annahme: [mm]\wurzel{a}+\wurzel{b}[/mm] ist rational, es existiert
> also eine darstellung der summe als [mm]\bruch{p}{q}[/mm] wobei p
> [mm]\in \IZ[/mm] und q [mm]\in \IN[/mm]
Soweit okay
> da a und b rational sind, schreiben
> wir a als [mm]\bruch{s}{t}[/mm] und b als [mm]\bruch{u}{v}[/mm]
>
Korrekt
> [mm]\wurzel{a}+\wurzel{b}[/mm] = [mm]\bruch{p}{q}[/mm] quadrieren beider
> seiten ergibt
> [mm]\bruch{s}{t}+\bruch{u}{v}+\blue{2\wurzel{ \bruch{su}{tv} }}= \bruch{p^{2}}{q^{2}}[/mm]
Richtig
>
> da der blaue teil irrational laut vorraussetzung ist und
> die summe rationaler und irrationaler zahen irrational ist
> wäre p/q irrational widerspruch!
>
Welche Voraussetzung? Mach es dir einfacher:
[mm] \bruch{s}{t}+\bruch{u}{v}+2\wurzel{\bruch{su}{tv}}=\bruch{p^{2}}{q^{2}}
[/mm]
[mm] \gdw\underbrace{\wurzel{\bruch{su}{tv}}}_{\not\in\IQ,n.Vorauss.}=\underbrace{\bruch{\bruch{p²}{q²}-\bruch{s}{t}-\bruch{u}{v}}{2}}_{\in\IQ}
[/mm]
> [mm]\wurzel{a}*\wurzel{b}[/mm] ist nicht rational
> falsch, da z.b. a= 2/3 b= 3/2
Korrekt, aber etwas ausführlicher wäre gut.
>
> [mm]\wurzel{a}/ \wurzel{b}[/mm] ist nicht rational
> falsch, da z.b. a= 1/3 b=3/100
Auch korrekt
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Mi 06.06.2007 | | Autor: | statler |
Guten Tag ihr beiden!
> > [mm]\bruch{s}{t}+\bruch{u}{v}+\blue{2\wurzel{ \bruch{su}{tv} }}= \bruch{p^{2}}{q^{2}}[/mm]
>
> Richtig
>
> >
> > da der blaue teil irrational laut vorraussetzung ist und
> > die summe rationaler und irrationaler zahen irrational ist
> > wäre p/q irrational widerspruch!
Hier habe ich Bedenken! Der blaue Teil muß nicht irrational sein, wenn z. B. s = v = 2 und u = t = 3 ist. Ich denke, man muß die Wurzeln auf verschiedene Seiten bringen und dann quadrieren, dann fällt eine weg und die andere wäre folglich rational.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Sa 30.06.2007 | | Autor: | Sax |
Setze u = [mm] \wurzel{a}+\wurzel{b} [/mm] sowie v = [mm] \wurzel{a}-\wurzel{b}
[/mm]
und beachte, dass u*v = a-b rational ist. Wäre u rational, so auch v = (a-b)/u und somit auch u+v = 2* [mm] \wurzel{a}. [/mm] Widerspuch.
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