wurzeln-einschränkende bedingu < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo an alle
Ich habe ein kleines Problem, wir schreiben nächsten dienstag eine mathearbeit über wurzeln(Gymnasium, 9. Klasse)
Bisher habe ich auch alles verstanden außer wenn es darum geht einschränkende bedingungen anzugeben. In fast allen aufgaben steht dann: Vereinfache und gebe die einschränkende Bedignung, dass der Term definiert ist.
Das Vereinfachen kann ich, nur, könnte mir vielleicht jemand erklären wie und wann man einschränkende Bedignungen macht?
Kerstin
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Hallo Kerstin,
du kennst doch sicher die Merkregel, dass man nicht durch Null teilen darf.
Daraus folgt, dass bei Bruchtermen der Nenner nicht Null sein darf.
Für den Term [mm]\frac{x+1}{x-1}[/mm] gilt also, dass x nicht gleich 1 sein darf, sonst müsste man durch 1-1=0 teilen.
Die einschränkende Bedingung ist hier: x darf nicht gleich 1 sein.
Ebenso gilt bei Wurzelausdrücken: unter der Wurzel darf nix Negatives stehen, deshalb: wenn >>Ausdruck<< unter der Wurzel steht, lautet die einschränkende Bedingung: >>Ausdruck<< ist nicht negativ.
Beispiel:
[mm]\sqrt{x^2-4}[/mm]
Es muss gelten:
[mm]x^2-4\ge0[/mm], bzw. [mm]x^2\ge4[/mm].
Das ist erfüllt wenn [mm]x\ge2[/mm]; aber auch, wenn [mm]x\le-2[/mm].
Also darf x nicht zwischen -2 und 2 liegen, die einschränkende Bedingung ist hier: [mm]x\not\in]-2;2[[/mm]
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hallo hugo
jep, bis dahin habe ich es verstanden--- was ist denn bei solchen Termen:
wurzel aus c hoch 2
wurzel aus (-c) hoch 2
- wurzel aus c hoch 2
- (wurzel aus c) hoch 2
(- wurzel aus c) coh 2
-(wurzel aus (-c hoch 2)) hoch 2
Ich hab hier die lösungen
die 1.,2.,3.,6. haben keine einschränkende Bedingung
bei den anderen ist es [mm] c\in \IR [/mm] (+,0)
Aber ich weiß nicht so recht warum....
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Mi 29.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Kerstin
also erst mal:
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich hätte noch 2 Bitten
1) Wenn du eine weitere Frage stellst, die sich auf eine bereits gegebene Antwort beziehst, dann hänge sie doch auch dort an. Das machst du ganz ienfach, indem du die Antwort eben offen hältst und dazu eine weitere Frage stellst.
2) Benutze nach Möglichkeit unseren Formelsatz, damit die Formeln besser lesbar, und eindeutig, werden.
Ich denke mal, du meinst Folgendes, wobei ich aber nicht überall sicher bin:
> wurzel aus c hoch 2
> wurzel aus (-c) hoch 2
> - wurzel aus c hoch 2
> - (wurzel aus c) hoch 2
> (- wurzel aus c) coh 2
> -(wurzel aus (-c hoch 2)) hoch 2
>
> Ich hab hier die lösungen
>
> die 1.,2.,3.,6. haben keine einschränkende Bedingung
> bei den anderen ist es [mm]c\in \IR[/mm] (+,0)
>
> Aber ich weiß nicht so recht warum....
>
1. [mm] $\wurzel{c^{2}}$
[/mm]
2. [mm] $\wurzel{(-c)^{2}}$
[/mm]
3. [mm] $-\wurzel{c^{2}}$
[/mm]
4. [mm] $-(\wurzel{c}\, )\, [/mm] ^{2}$
5. [mm] $(-\wurzel{c}\, )\, [/mm] ^{2}$
6. [mm] $-(\wurzel{(-c)^{2}}\, )\, [/mm] ^{2}$
Jetzt weiss ich nur nicht, woher du die Lösung hast. Ich glaube nämlich nicht, dass alle stimmen!
Da es sich nur um Wurzelausdrücke handelt (ohne Brüche), kann die einzige bedingung nur sein, dass der Ausdruck unter der Wurzel [mm] $\ge [/mm] 0$ sein muss. Du gebinnst also immer mit dieser Ungleichung, und bestimmst daraus die $c$, die diese Bedingung erfüllen.
Am Beispiel der 1. Aufgabe also:
Unter der Wurzel steht [mm] $c^{2}$.
[/mm]
Die Ungleichung ist also:
[mm] $c^{2} \ge [/mm] 0$
Links steht eine Quadratzahl, und die ist, wie du sicher weisst immer [mm] $\ge [/mm] 0$, egal, ob das $c$ selber positiv oder negativ ist! Darum gibt es hier keine Einschränkung! 
Kannst du nach diesem Schema einmal auch die anderen Aufgabe lösen?
Vorsicht dabei bei Aufgabe 6. Die solltest du uns unbedingt vorrechnen! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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Hallo
sorry, dass ich die zeichen nicht benutzt hab und dass ich die frage nicht angehängt hab, kenn mich hier noch nicht ganz aus
du hast aber trotzdem die aufgaben richtig herausgefunde
Die antworten habe ich alle aus dem Unterricht. da haben die es uns so erklärt, ich habe es aber dann immer noch nicht ganz versatnden:
Bei der 1. es kommt [mm] \vmat{ c } [/mm] raus und hat keine einschränkende bedingung
Bei der 2. kommt das selbe raus weil sich das minus durch das quadrieren wieder auflöst
Bei der 3. kommt -c raus, da sich das minus vor der wurzel begibt und daher es bestehen bleibt, keine einschränkende bedingung, weil durch das quadrieren die zahl sowieso positiv ist.
Bei der 4. kommt -c raus, aber mit der einschränkng das c element aus [mm] positiven\IRzahlen [/mm] mit 0, weil das quadrieren außerhalb der klammer steht
bei der 5. kommt c raus und die selbe bedingung wie bei 4.
bei der 6. kommt -c ^{2} weil die innerste klammer, durch das quadrieren positiv ist aber da das minus und das zweite hoch 2 aus der klammer sind bleiben sie bei c erhalten.
Nun, ich verstehe es schon teilweise aber nicht ganz. Kommt immer dann einen Bedingung, wenn das quadrat aus der klammer steht?, warum kommen aber bei den ersten beiden betragsstriche und bei den anderen nicht?
das andere war, dass ich meiner freundin versprochen hab es ihr auf einem ausführlichen blatt zu erklären, da ich dachte ich könnte es, doch nun fange ich an probleme zu haben, und weiß es weder mir noch ihr so richtig zu erklären
ich danke euch für eure hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Mi 29.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Kerstin
aber ich denke, ich hatte doch noch einen Fehler in der Interpretation der 6. Aufgabe. Ich habe das jetzt aber korrigiert in meiner 1. Antwort, jetzt sollte es stimmen.
Ich zähle sie hier nochmals auf, damit sie schön sichtbar bleiben:
1. $\wurzel{c^{2}}$
2. $\wurzel{(-c)^{2}}$
3, $-\wurzel{c^{2}}$
4. $-(\wurzel{c}\, )^{2}$
5. $(-\wurzel{c}\, )^{2}$
6. $-(\wurzel{(-c)^{2}}\, )^{2}$
So, jetzt sollten wir zuerst einmal die Gedanken ordnen.
A) Zuerst wolltest du ja nur wissen, wann denn eine Bedingung existiert, dass der Ausdruck überhaupt definiert ist.
B) Jetzt willst du auch noch wissen, wann Betragsstriche gemacht werden
C) Und dann noch, was bei den obigen Ausdrücken herauskommt.
Für A) habe ich dir ja schon die Antwort gegeben: das, was unter der Wurzel steht, darf nicht negativ sein! Das ist die Einzige Bedingung, die sich bei Wurzeln ergibt.
Weil bei den Aufgaben 1., 2., 3. und 6. eine Quadratzahl unter der Wurzel steht, und Quadratzahlen ja immer positiv sind, ergibt sich bei diesen Aufgaben tatsächlich keine Bedingung.
Würde eine Aufgabe einmal etwa so heissen (das könnte bei der Prüfung evtl. sogar kommen:
$\wurzel{-x^{2}}$, dann könnte man sagen: dieser Ausdruck liefert nur einen gültigen Wert, wenn $x=0$ ist. Sonst ist ja $-x^{2}$ immer kleiner als Null, und es lässt sich keine Wurzel ziehen!
Bei 3. und 4. hingegen steht unter der Wurzel jeweils nur $c$, so dass wir an dieses $c$ eben die Bedingung $c \ge 0$ stellen müssen.
So, das wäre bereits alles, was es zu den Bedingungen bei Wurzeln zu sagen gibt.
Jetzt zu der Frage mit den Betragsstrichen:
Es ist so, dass bei einer Wurzel immer eine positive Zahl herauskommt, manchmal auch $0$.
Es gilt also generell, wenn die Wurzel überhaubt gezogen werden kann:
$\wurzel{x} \ge 0$
Dabei kann es nur $= 0$ sein, wenn $x$ selber $0$ ist.
Dann musst du noch wissen: das Quadrieren und das Wurzelziehen heben sich gegenseitig auf, aber immer unter obiger einschränkung: $\wurzel{c} \ge 0$
Somit gilt nicht:
$\wurzel{c^{2}}=c$
Wenn nämlich $c < 0$ ist, dann kommt eben trotzdem eine Zahl $> 0$ heraus, und das kann eben ganz elegant mit den Betragsstrichen angezeigt werden:
$\wurzel{c^{2}}=\mid{c}\mid$
Das war jetzt gleich die Aufgabe 1.
bei 2. und 3. gelten genau die gleichen Ueberlegungen. Es gilt also:
2. $\wurzel{(-c)^{2}}}=\mid{c}\mid$, weil auch hier, egal wie c ist, etwas positives herauskommen muss!
3. $-\wurzel{c^{2}}}=-\mid{c}\mid$, weil hier ja das Minus vor der Wurzel steht, muss es dann auch vor dem Betrag stehen.
Jetzt zu 4.:
$-(\wurzel{c}\, )^{2}=-c$
Eigentlich dürfte ich auch hier $-(\wurzel{c}\, )^{2}=-\mid{c}\mid$ schreiben! Das wäre nicht falsch, aber die Betragsstriche sind überflüssig, und zwar deshalb, weil wir ja die Einschränkung festgestellt hatten, dass $c \ge 0$ gelten muss! Für eine Zahl, die sowieso grösser_gleich Null sein muss, braucht es keine Betragsstriche, die bleiben so oder so Wirkungslos. Aber nochmals: falsch sind sie nicht, nur unnötig!
Aufgabe 5. $(-\wurzel{c}\, )^{2}=c$
Im Gegensatz zu Aufgabe 4. wird das Minus vor der Wurzel auch quadriert, so dass das Ganze positiv wird. Was ich über die Betragsstriche gesagt habe, gilt auch hier.
Aufgabe 6.:
$-(\wurzel{(-c)^{2}}\, )^{2}=?$
Hier würde ich von innen nach aussen auflösen: zuerst wissen wir aus Aufgabe 2., dass , dass $\wurzel{(-c)^{2}}=\mid{c}\mid$
Jetzt muss also noch das gerechnet werden:
$-(\mid{c}\mid)^{2}$
Egal, ob grösser oder kleiner als Null: ein Quadrat wird immer positiv. Man kann also anstelle $\mid{c}\mid^{2}$ auch einfach $c^{2}$ schreiben.
In der Aufgabe sechs steht vor dem Ganzen noch ein Minus, deshalb gilt also:
$-(\wurzel{(-c)^{2}}\, )^{2}=-c^{2}$
Hoffentlich ist jetzt alles ein Bisschen klar geworden. Studier das nochmals in Ruhe durch, und wenn noch Fragen auftauchen, dann stelle diese einfach!
Mit lieben Grüssen
Paul
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hi paulus
vielen vielen dank, ich hab jetzt dies ausgedruckt, dann kann ich es aucch meinen freunden geben, die auch so ihre probleme damit haben Ich werd das jetzt durcharbeiten, damit ich mal sehe wie viel ich auch allein schaffe *gg* falls ich noch eine frage offen habe, meld ich mich mal, nochmals vielen dank, ich werd dieses forum ganz bestimmt weiterempfehlen
liebe Grüße
kerstin
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