wurzel2+wurzeln=irrational < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass für alle positiven ganzen Zahlen n die zahl [mm] \wurzel{2}+\wurzel{n} [/mm] irrational ist. |
hallo mal wieder,
also ich dachte mir, dass ich einen widerspruchsbeweis führe, also:
ich nehme an, dass [mm] \wurzel{2}+\wurzel{n} [/mm] rational ist.
[mm] \wurzel{2}+\wurzel{n}=\bruch{m}{n} [/mm] mit [mm] m,n\in\IZ [/mm]
[mm] \wurzel{n}=\bruch{m}{n}-\wurzel{2}
[/mm]
[mm] n=\bruch{m^2}{n^2}-2*\bruch{m}{n}*\wurzel{2}+2
[/mm]
[mm] n-\bruch{m^2}{n^2}-2=-2*\wurzel{2}*\bruch{m}{n}
[/mm]
[mm] \bruch{n-\bruch{m^2}{n^2}-2}{-2}=\wurzel{2}*\bruch{m}{n}
[/mm]
[mm] \bruch{n}{m}*\bruch{n-\bruch{m^2}{n^2}-2}{-2}=\wurzel{2}
[/mm]
der linke ausdruck ist aber klar rational, rechts is irrational, ergo widerspruch. Q.E.D.
Stimmt das so ? kommt mir viel zu lang und kompliziert vor, da muss was falsch sein :-D
Lg,
exeqter
|
|
| |
|
> Beweisen Sie, dass für alle positiven ganzen Zahlen n die
> zahl [mm]\wurzel{2}+\wurzel{n}[/mm] irrational ist.
> hallo mal wieder,
>
> also ich dachte mir, dass ich einen widerspruchsbeweis
> führe, also:
>
> ich nehme an, dass [mm]\wurzel{2}+\wurzel{n}[/mm] rational ist.
>
> [mm]\wurzel{2}+\wurzel{n}=\bruch{m}{n}[/mm] mit [mm]m,n\in\IZ[/mm]
>
> [mm]\wurzel{n}=\bruch{m}{n}-\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]n=\bruch{m^2}{n^2}-2*\bruch{m}{n}*\wurzel{2}+2[/mm]
>
> [mm]n-\bruch{m^2}{n^2}-2=-2*\wurzel{2}*\bruch{m}{n}[/mm]
>
> [mm]\bruch{n-\bruch{m^2}{n^2}-2}{-2}=\wurzel{2}*\bruch{m}{n}[/mm]
>
> [mm]\bruch{n}{m}*\bruch{n-\bruch{m^2}{n^2}-2}{-2}=\wurzel{2}[/mm]
>
> der linke ausdruck ist aber klar rational, rechts is
> irrational, ergo widerspruch. Q.E.D.
>
> Stimmt das so ? kommt mir viel zu lang und kompliziert vor,
> da muss was falsch sein :-D
Weshalb ?
Es wäre eventuell ein etwas kürzerer Weg möglich,
aber grundsätzlich ist dieser Beweis absolut in
Ordnung: durch Quadrieren die [mm] \sqrt{n} [/mm] eliminieren
und dann zeigen, dass auch [mm] \sqrt{2} [/mm] rational sein
müsste. Wenn die Irrationalität von [mm] \sqrt{2} [/mm] vorher
bewiesen wurde, ist dies also ein tauglicher Wider-
spruchsbeweis.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
