wirbelfreies feld < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:07 Di 08.04.2008 | | Autor: | Phecda |
hi
kann mir jmd bei einer übungsaufgabe helfen?
![[]](/images/popup.gif) http://www.ari.uni-heidelberg.de/mitarbeiter/rschmidt/theorie2/blatt1.pdf
es geht um die aufgabe 2
also ich will nur eins wissen, wie kann ich die rotation von f(r) ausrechnen?
normalerweise bin ichs gewohnt F als vektor mit den einzelnen komponenten zu haben und dann abzuleiten nach definition.
kann mir jmd grob erklären wie ich hier die rot berechne?
kann ein kraftfeld wirbelfrei sein, wenn es eine singularität hat?
ok ich wäre wirklich dankbar für tips, will auhc selbst nicht, dass ihr mir das ausrechnet oder ähnliches
vielen dank
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:09 Di 08.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Es wäre schön, wenn du deinen Link als solchen ausgezeichnet hättest, dann könnte man direkt drauf klicken. Ich habe das gerade geändert.
> http://www.ari.uni-heidelberg.de/mitarbeiter/rschmidt/theorie2/blatt1.pdf
> es geht um die aufgabe 2
> also ich will nur eins wissen, wie kann ich die rotation
> von f(r) ausrechnen?
>
> normalerweise bin ichs gewohnt F als vektor mit den
> einzelnen komponenten zu haben und dann abzuleiten nach
> definition.
Du hast die Kraft [mm] $\vec{F}(\vec{r})$ [/mm] gegeben, also kannst du sie auch in Komponenten hinschreiben.
> kann mir jmd grob erklären wie ich hier die rot berechne?
In der Aufgabe steht der wichtige Hinweis, dass du die Einsteinsche Summenkonvention und das Levi-Civita-Symbol benutzen sollst. Die Einsteinsche Summenkonvention besagt, dass man die Summenzeichen in der Komponentenschreibweise weglässt und über alle doppelt vorkommenden Indizes summiert. Einfach vorkommende Indizes bleiben stehen, mehr als doppelt vorkommende Indizes sind ein Rechen- oder Schreibfehler, denn untersdchiedliche Summationen haben auch unterschiedliche Indizes.
In dieser Konvention lautet das Skalarprodukt zum Beispiel
[mm] \vec{m}*\vec{r} = m_i r_i [/mm].
Wenn ich die Ableitung nach [mm] $r_i$ [/mm] mit [mm] $\partial_i$ [/mm] abkürze, ist dann die i-te Komponente der Rotation
[mm] (\vec{\nabla}\times\vec{F}(\vec{r}))_i = \epsilon_{ijk}\partial_j F_k(\vec{r}) [/mm]
Jetzt setzt du ein, beachtest dass [mm] $\partial_i r_j [/mm] = [mm] \delta_{ij}$ [/mm] ist und außerdem
[mm] \partial_i \bruch{1}{r^n} = -n \bruch{1}{r^{n+1}} \partial_i r = -n \bruch{1}{r^{n+1}} \bruch{r_i}{r} = -n \bruch{r_i}{r^{n+2}} [/mm]
Jetzt setzt du ein und beachtest, dass wegen der Antisymmetrie des Levi-Civita-Symbols gilt:
[mm] \epsilon_{ijk}\delta_{ij} = 0[/mm] (ebenso für alle anderen Permutationen).
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:49 Di 08.04.2008 | | Autor: | Phecda |
ok
rainer
großes dankeschön
ich werds heut nachmittag ausprobieren ;)
LG
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> kann ein kraftfeld wirbelfrei sein, wenn es eine
> singularität hat?
Hallo!
Ja natürlich! Wenn du in Elektrostatik und Gravitation mit Punktladungen und Punktmassen rechnest, ist an deren Position im erzeugen Feld soch stets eine Singularität.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:14 Di 08.04.2008 | | Autor: | Phecda |
hi muss ich bei der kraft die einzelnen skalarprodukte mit unterschiedlichen indizes schreiben?
iwie kommt ich bei der berechnung nicht wirklcih vorran, das sind so viele größen da stimmt vorne bis hinten nichts
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 Di 08.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Schreib' mal auf, was du hast, dann können wir dir sagen, wo es hängt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Di 08.04.2008 | | Autor: | Phecda |
[mm] F_{k}= \bruch{3my}{4\pi}[\bruch{1}{r^5}*[(m_{a}r_{a})m_{k}' [/mm] + [mm] (m_{b}'r_{b})m_{k} [/mm] + [mm] (m_{c}m_{c}')r_{k}] [/mm] - [mm] \bruch{5}{r^7}*(m_{d}r_{d})*(m_{e}'r_{e})r_{k}]
[/mm]
ist meine k-te komp von F
ja und jetzt hab ich weiterhin den ansatz levi-civita-symbol & epsilondelta-symbohl gewählt.
ich hab bei beiden termen auch die produktregel benutzt
...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:01 Di 08.04.2008 | | Autor: | jimi |
Das war Quatsch. Sorry.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Di 08.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]F_{k}= \bruch{3my}{4\pi}[\bruch{1}{r^5}*[(m_{a}r_{a})m_{k}'[/mm]
> + [mm](m_{b}'r_{b})m_{k}[/mm] + [mm](m_{c}m_{c}')r_{k}][/mm] -
> [mm]\bruch{5}{r^7}*(m_{d}r_{d})*(m_{e}'r_{e})r_{k}][/mm]
>
> ist meine k-te komp von F
Das ist richtig (bis auf $my$ statt [mm] $\mu$).
[/mm]
> ja und jetzt hab ich weiterhin den ansatz
> levi-civita-symbol & epsilondelta-symbohl gewählt.
> ich hab bei beiden termen auch die produktregel benutzt
> ...
OK, also
[mm] \left(\vec\nabla\times \vec F\right)_i = \epsilon_{ijk} \partial_j F_k [/mm]
Und weiter? Wo bist du steckengeblieben?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Di 08.04.2008 | | Autor: | Phecda |
hi
boar wie ich diese indizeesaufgaben hasse :-!
also so gings weiter
[mm] \varepsilon_{ijk}[\partial_{i}F_{k}]
[/mm]
in meinem [mm] F_{k} [/mm] benenne ich mit A die drei Summanten die nach [mm] 1/r^5 [/mm] kommen: A := [mm] (m_{a}r_{a})m_{k}' [/mm] + [mm] (m_{b}'r_{b})m_{k} [/mm] + [mm] (m_{c}m_{c}')r_{k}] [/mm]
und B ist der Ausdruck [mm] (m_{d}r_{d})\cdot{}(m_{e}'r_{e})r_{k} [/mm]
so mein ganzer Ausdruck mit der Rotation ist nun:
[mm] \varepsilon_{ijk}[A\partial_{j}(\bruch{1}{r^5}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{r^5}*\partial_{j}A [/mm] - [mm] 5B\partial_{j}(\bruch{1}{r^7}) [/mm] - [mm] \bruch{5}{r^7}\partial_{j}B]
[/mm]
So diese 4 Ausdrücke hab ich jetzt wie folgt weitervereinfacht:
der erste ist: [mm] -5A\bruch{r_{i}}{r^7}
[/mm]
der zweite ist: [mm] \bruch{1}{r^5}(m_{k}'m_{j}+m_{j}'m_{k})
[/mm]
der dritte ist [mm] 35B\bruch{r_{j}}{r^9}
[/mm]
und den vierten term kann ich nicht vereinfachen
muss ich da produktregel mit (uvw)' benutzen?
soweit ist das alles
ich hoffe dass es halbwegs nachvollziehbar ist
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Di 08.04.2008 | | Autor: | Phecda |
ok aber der zweite term den du korrigiert hast besteht nur aus zwei termen weil doch das eine [mm] \delta_{ik} [/mm] durch das epsilon eh wegfallen wird?
ok ist der vierte term:
[mm] -\bruch{5}{r^7}[(m_{e}r_{e})'r_{k}m_{j} [/mm] + [mm] (m_{d}r_{d})r_{k}m_{j}' [/mm] + [mm] (m_{d}r_{d})(m_{e}'r_{e})\delta_{jk}]
[/mm]
so gut jetzt hab ich 4 ausdrücke mit den einzelnen termen die du teilweise verifiziert hast
wie gehts weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Di 08.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ok aber der zweite term den du korrigiert hast besteht nur
> aus zwei termen weil doch das eine [mm]\delta_{ik}[/mm] durch das
> epsilon eh wegfallen wird?
Das ist richtig, aber ich kann ja nicht erkenn ob du den Term vergessen hast oder wegoptimiert.
Da die beiden verbleibenden Terme $(m'_i [mm] m_k [/mm] + [mm] m_i [/mm] m'_k$ auch symmetrisch in $(ik)$ sind, fallen sie zusammen mit dem [mm] $\epsilon_{ijk}$ [/mm] auch weg.
> ok ist der vierte term:
>
> [mm]-\bruch{5}{r^7}[(m_{e}r_{e})'r_{k}m_{j}[/mm] +
> [mm](m_{d}r_{d})r_{k}m_{j}'[/mm] +
> [mm](m_{d}r_{d})(m_{e}'r_{e})\delta_{jk}][/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> so gut jetzt hab ich 4 ausdrücke mit den einzelnen termen
> die du teilweise verifiziert hast
> wie gehts weiter?
Alles einsetzen und beachten, dass alle Terme wegfallen, die sich bei Vertauschung von j und k nicht ändern.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Di 08.04.2008 | | Autor: | Phecda |
hi genau das versteh ich nicht,
wie ich soll achten dass alles wegfällt das sich nicht ändern?
ich dachte dieser ausdruck ist eine komponente von der rotation also muss diese als solle schon ganz wegfallen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Di 08.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hi genau das versteh ich nicht,
> wie ich soll achten dass alles wegfällt das sich nicht
> ändern?
Zum Beispiel:
[mm]\epsilon_{ijk}(m'_j m_k + m_j m'_k) = \epsilon_{ijk} m'_j m_k + \epsilon_{ijk}m_j m'_k \mathop{=}\limits_{\overbrace{\textstyle \epsilon_{ijk}=- \epsilon_{ikj}}}\epsilon_{ijk} m'_j m_k - \epsilon_{ikj}m_j m'_k[/mm]
Summationsindizes darf ich umbennen, daher vertausche ich im letzten Summanden j und k und erhalte:
[mm] \epsilon_{ijk} m'_j m_k - \epsilon_{ikj}m_j m'_k = \epsilon_{ijk} m'_j m_k - \epsilon_{ijk}m_k m'_j = 0[/mm]
Ganz allgemein: wenn [mm] $\epsilon_{ijk}$ [/mm] mit einer Größe multipliziert wird, die symmetrisch in j und k ist, kommt immer 0 heraus.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Di 08.04.2008 | | Autor: | Phecda |
ja wird ja jeder einzelne term 0?
das mit dem bsp hab ich verstanden, aber die formulierung symmetrisch in j und k iwie nicht ganz. was wäre ein gegenbeispiel oder wie macht man das mit dem ersten bsp?
- so langsam komm ich den paar punkten immer näher
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Di 08.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ja wird ja jeder einzelne term 0?
> das mit dem bsp hab ich verstanden, aber die formulierung
> symmetrisch in j und k iwie nicht ganz. was wäre ein
> gegenbeispiel
[mm] m'_k m_j - m'_j m_k [/mm] ändert bei Vertauschung von j und k das Vorzeichen.
[mm] m'_k m_j +2 m'_j m_k [/mm] wird bei Vertauschung von j und k zu [mm] 2m'_k m_j + m'_j m_k [/mm]
Allerdings lässt sich das schreiben als
[mm] m'_k m_j +2 m'_j m_k = \underbrace{m'_k m_j + m'_j m_k}_{\text{symmetrisch}} + m'_j m_k[/mm]
sodass bei Multiplikation mit [mm] $\epsilon_{ijk}$ [/mm] nur der letzte Term nicht wegfällt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Di 08.04.2008 | | Autor: | Phecda |
ist die fragestellung mit dem stokesschen satz nicht absurd?
bei singularitäten bzw. bei nicht zusammenhängenden gebieten
gilt er doch gar nicht, also wie soll ich ihn um r = 0 anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:24 Mi 09.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ist die fragestellung mit dem stokesschen satz nicht
> absurd?
> bei singularitäten bzw. bei nicht zusammenhängenden
> gebieten
> gilt er doch gar nicht, also wie soll ich ihn um r = 0
> anwenden?
Wo hast du hier ein nichtzusammenhängendes Gebiet? Wenn du den Nullpunkt herausnimmst, ist der [mm] $\IR^3$ [/mm] immer noch einfach zusammenhängend.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Phecda |
hallo
also die aufgabenstellung mit dem stokessatz versteh ich nicht
hier.
wenn rot = 0 ist dann ist das feld konservativ
ok im b teil wird ja acuh ein potential gesucht, also muss F auf jeden fall zusammenhängend sein
aber es gibt doch eine singularität bei r = 0
http://de.wikipedia.org/wiki/Konservatives_Feld
hier ist am anfang auch ein bsp.
das grav.feld ist ja konservativ hat aber auch eine singularität
was also bedeutet einfach zusammenhängend genau?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Mi 09.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hallo
> also die aufgabenstellung mit dem stokessatz versteh ich
> nicht
> hier.
> wenn rot = 0 ist dann ist das feld konservativ
Eigentlich heisst konservativ, dass die Arbeit entlang eines Weges nur von den Endpunkten abhängt.
Dann ist die Rotation des Vektorfelds 0.
Die Umkehrung gilt nur für einfach zusammenhängende Gebiete.
> ok im b teil wird ja acuh ein potential gesucht, also muss
> F auf jeden fall zusammenhängend sein
Zusammenhang ist keine Eigenschaft des Feldes, sondern eine topologische Eigenschaft des Raumes.
> aber es gibt doch eine singularität bei r = 0
> http://de.wikipedia.org/wiki/Konservatives_Feld
>
> hier ist am anfang auch ein bsp.
>
> das grav.feld ist ja konservativ hat aber auch eine
> singularität
> was also bedeutet einfach zusammenhängend genau?
Ich nehme an, du meinst das zweidimensionale Beispiel. Die Ebene ist nicht mehr einfach zusammenhängend, wenn man den Ursprung herausnimmt; hingegen ist der dreidimensionale Raum immer noch einfach zusammenhängend, wwenn ich den Ursprung herausnehme.
Einfach zusammenhängend = wegzusammenhängend + alle Wege sind nullhomotop.
Wegzusammenhängend: zu je zwei Punkten A und B, gibt es einen Weg, der von A nach B führt.
Alle Wege sind nullhomotop bedeutet: Jeder geschlossene Weg lässt sich durch eine stetige Transformation auf einen Punkt zusammenziehen.
Für die zweidimensionale Ebene ohne Ursprung gilt letzteres nicht: Ein Pfad, der um den Ursprung herumführt, lässt sich nicht zusammenziehen.
In drei oder mehr Dimensionen lässt sich jeder geschlossene Weg zusammenziehen, auch wenn der Ursprung fehlt. (Ich habe sozusagen noch mehr Dimensionen, in die ich beim Zusammenziehen ausweichen kann.)
Für deine Aufgabe folgt daraus, dass die Singularität kein Problem ist, weil ich sie aus dem [mm] $\IR^3$ [/mm] herausnehmen kann, ohne am Satz von Stokes zu rütteln.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Phecda |
hi unser prof hat das gleiche bsp in wiki durchgerechnet im dreidemensionalen, er hat also die x3 komponente auf null gesetzt. und auch so argumentiert wie in wiki.
zwar rot = 0 aber geschlossenes wegintegral nicht null
ändert sich hier etwas?
mfg
rainer ich bin dir wirklich total dankbar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 Do 10.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hi unser prof hat das gleiche bsp in wiki durchgerechnet im
> dreidemensionalen, er hat also die x3 komponente auf null
> gesetzt. und auch so argumentiert wie in wiki.
> zwar rot = 0 aber geschlossenes wegintegral nicht null
>
> ändert sich hier etwas?
Ja! Da musste ich jetzt auch ne Weile nachdenken. Hier wird der Fall erklärt. (Die englische Wikipedia ist, was Mathematik oder Physik angeht, häufig präziser als die deutsche.)
Du redest von dem planaren Vektorfeld
[mm] \mathbf{F}(x,y,z) = \left(\bruch{-y}{x^2+y^2},\bruch{x}{x^2+y^2},0\right) [/mm].
Das ist singulär für alle Punkte auf der z-Achse. Wenn du aber die z-Achse aus dem [mm] $\IR^3$ [/mm] herausnimmst, ist die übrigbleibende Menge nicht mehr einfach zusammenhängend: Jeder geschlossene Weg, der um die z-Achse herumgeht, lässt sich nicht zu einem Punkt zusammenziehen.
Daher gilt der Satz von Stokes nicht.
In deiner Aufgabe ist das Vektorfeld aber nur im Ursprung singulär, daher gilt er.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Do 10.04.2008 | | Autor: | Phecda |
hallo
ok ich glaub ich hab das jetz verstanden mit dem zusammenhängenden gebiet :) hab auch mein prof nochmal gefragt..
soll ich jetzt einfach den stokessche satz anwenden, und weil rot = 0 ist, zeigen, dass das kurvenintegral unabhängig ist vom gewählten weg auf meinem gebiet? um die singularität
oder was könnte man mit der frage wissen wollen?
find die ist einfahc etwas allgemein gestellt
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Fr 11.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ok ich glaub ich hab das jetz verstanden mit dem
> zusammenhängenden gebiet :) hab auch mein prof nochmal
> gefragt..
> soll ich jetzt einfach den stokessche satz anwenden, und
> weil rot = 0 ist, zeigen, dass das kurvenintegral
> unabhängig ist vom gewählten weg auf meinem gebiet? um die
> singularität
Du nimmst die Singularität aus deinem Gebiert heraus, betrachtest also [mm] $\IR^3-\{0\}$. [/mm] In diesem Gebiet gilt der Stokessche Satz. Da die Rotation des Vektorfeldes 0 ist, folgt aus dem Stokesschen Satz, dass das Wegintegral nur von Anfangs- und Endpunkt des Weges abhängt. Daher lässt sich das Vektorfeld als Gradient eines Potentialfeldes darstellen.
Viele Grüße
Rainer
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