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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Mo 14.01.2008 | | Autor: | toros |
hallo,
ich hab ein kleines verstaednis-problem. wenn irgendein kraftefeld [mm] \vec{F}(\vec{r}) [/mm] wirbelfrei ist, z.b. dass der gravitation, dann gilt:
[mm] \nabla\vec{F}(\vec{r})=\text{rot}\vec{F}(\vec{r})=0
[/mm]
warum folgt dies direkt aus der eigenschaft, dass [mm] \vec{F}(\vec{r}) [/mm] als gradient eines skalar feldes geschrieben werden kann?
gruss toros
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Mo 14.01.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
dass [mm] $\vec{F}(\vec{r})$ [/mm] Gradient eines skalaren Feldes ist bedeutet doch, dass [mm] $\vec{F}(\vec{r}) [/mm] = [mm] \nabla \cdot V(\vec{r})$. [/mm]
Folglich berechnet sich die Rotation als
[mm]\nabla \times \vec{F}(\vec{r}) = \nabla \times (\nabla \cdot V(\vec{r})) = (\nabla \times \nabla )\cdot V(\vec{r}) [/mm]
wobei der letzte Schritt nur funktioniert, weil rechts ein Skalar steht.
Jetzt ist aber rein formal geschrieben
[mm]\nabla \times \nabla = \vektor{\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}} \times \vektor{\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}} = \vektor{\frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial z}\\ \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial x}}[/mm]
...und wenn nun V so "gutmütig" ist, dass man die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauschen darf, dann kommt da offensichtlich immer 0 raus.
Alles klar?
Gruß
piet
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