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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Do 22.01.2009 | | Autor: | ardik |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte $A(-1|1|-1), [mm] B_t(-1|2|2t+1), C_t(5|3t+1|-1),$ [/mm] die die Ebenenschar [mm] E_t [/mm] bestimmen.
...
d) Es gibt zwei Ebenen, in denen die Menge aller Punkte liegt, die von [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_0 [/mm] den gleichen Abstand haben. Ermitteln Sie deren Koordinatengleichungen. |
Hallo Ihr,
ich suche vor allem einen alternativen Lösungsweg oder aber auch einen Denk-/Rechenfehler bei mir.
Bereits berechnet sind u.a. die Parameterformen von [mm] E_0 [/mm] und [mm] E_1 [/mm] sowie deren Normalenvektoren (und somit auch die Normalenformen) wie auch deren Schnittgerade.
Gesucht sind auf hochdeutsch die beiden Ebenen, die zu [mm] E_0 [/mm] und [mm] E_1 [/mm] winkelhalbierend liegen. Deren Normalenvektoren erhalte ich beispielsweise, indem ich die beiden (auf gleiche Länge gebrachten) Normalenvektoren von [mm] E_0 [/mm] und [mm] E_1 [/mm] addiere bzw. subtrahiere.
Mich stört, dass ich da häßliche Summen von Wurzeln bekomme, die ich nicht weiter zusammenfassen kann. Für eine typische Abituraufgabe erscheint mir dies unwahrscheinlich, zumal daraus ja noch die Koordinatenform der gesuchten Ebenen aufgestellt werden soll.
Im Einzelnen:
[mm] $\vec n_0^0$ [/mm] bzw. [mm] $\vec n_1^0$ [/mm] seien die auf Länge 1 normierten Hesseschen Normalenvektoren.
[mm] $E_0: \vec x=\vektor{-1\\1\\-1}+k_0*\vektor{0\\1\\2}+l_0*\vektor{6\\0\\0} \quad\Rightarrow\quad \vec n_0=\vektor{0\\2\\-1} \Rightarrow\quad \vec n_0^0=\frac{1}{\wurzel{5}}\vektor{0\\2\\-1}$
[/mm]
[mm] $E_1: \vec x=\vektor{-1\\1\\-1}+l_1*\vektor{0\\1\\4}+l_1*\vektor{6\\3\\0} \quad\Rightarrow\quad \vec n_1=\vektor{-2\\4\\-1} \Rightarrow\quad \vec n_0^0=\frac{1}{\wurzel{21}}\vektor{-2\\4\\-1}$
[/mm]
Um mir einige Wurzelei zu ersparen, multipliziere ich beide Hessesche Normalenvektoren vor der Addition mit [mm] $5\wurzel{21}.$
[/mm]
[mm] $5\wurzel{21}\left\big(\vec n_0^0+\vec n_1^0\right\big)=\wurzel{105}*\vektor{0\\2\\-1} [/mm] + [mm] 5*\vektor{-2\\4\\-1} [/mm] = [mm] \vektor{-10\\20+2\wurzel{105}\\-5-\wurzel{105}}$
[/mm]
Dies ist ein Normalenvektor für eine der winkelhalbierenden Ebenen, deren Koordinatengleichung sich dann ergibt zu
[mm] $-10x_1+(20+2\wurzel{105})x_2+(-5-\wurzel{105})x_3 [/mm] - 35 - [mm] 3\wurzel{105}=0.$
[/mm]
Das soll stimmen? ![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]")
Geht es einfacher?
Allerdings sehe ich nicht, wie eine „schönere“ Koordinatengleichung denkbar wäre.
Viele Grüße,
ardik
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Do 22.01.2009 | | Autor: | weduwe |
ist so richtig wie häßlich ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:47 Do 22.01.2009 | | Autor: | ardik |
Hallo weduwe,
besten Dank für's Überprüfen! 
Schöne Grüße
ardik
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