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wieso unbedingt erweitern?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:11 Mo 25.10.2004
Autor: Tracer

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


habe die aufgabe [mm] \bruch{a²+b²}{a²-b²} [/mm] - [mm] \bruch{(a-b)²}{a²+2ab+b²} [/mm]


wenn man diese aufgabe erweitert und umformt kommt [mm] 2b\bruch{2a²-ab+b²}{(a-b)(a+b)²} [/mm] heraus. aber warum geht diese formel nicht nach der allgemeinen Formel [mm] \bruch{A}{B} [/mm] - [mm] \bruch{C}{D} [/mm] = [mm] \bruch{A*D - B*C}{B*D} [/mm] zu lösen?

wenn ich die oben genannte formel nach auf diese weise löse komme ich auf  [mm] \bruch{(a²+b²) * (a²+2ab+b²)-(a²-b²)(a-b)²}{(a²-b²)(a+b)²} [/mm] was dann ausmultipliziert [mm] \bruch{a^4+2a³b+a²b^2+a^2b^2+2ab^3+b^4-a^4 + 2a^3 b-a^2 b^2+a^2 b^2 -2ab^3 +b^4}{a^4 +2a^3b +a^2 b^2 - a^2 b^2 - 2ab^3 - b^4} [/mm]  ergibt

zusammengefasst kommt dann allederings [mm] 2b\bruch{(a^3 + a^2b + b^3}{a^4 + 2a^3 b - 2ab^3 - b^4} [/mm] heraus. jemand eine lösung dafür oder bin ich einfach zu blöd zum rechnen?
        
Bezug
wieso unbedingt erweitern?: Ausrechnen+Tipp:3.bin. Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:01 Mo 25.10.2004
Autor: Marcel

Hallo Tracer,

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> habe die aufgabe [mm]\bruch{a²+b²}{a²-b²}[/mm] -
> [mm]\bruch{(a-b)²}{a²+2ab+b²} [/mm]
>  
>
> wenn man diese aufgabe erweitert und umformt kommt
> [mm]2b\bruch{2a²-ab+b²}{(a-b)(a+b)²}[/mm] heraus. aber warum geht
> diese formel nicht nach der allgemeinen Formel [mm]\bruch{A}{B}[/mm]
> - [mm]\bruch{C}{D}[/mm] = [mm]\bruch{A*D - B*C}{B*D}[/mm] zu lösen?
>  
> wenn ich die oben genannte formel nach auf diese weise löse
> komme ich auf  [mm]\bruch{(a²+b²) * (a²+2ab+b²)-(a²-b²)(a-b)²}{(a²-b²)(a+b)²}[/mm]
> was dann ausmultipliziert
> [mm]\bruch{a^4+2a³b+a²b^2+a^2b^2+2ab^3+b^4-a^4 + 2a^3 b-a^2 b^2+a^2 b^2 -2ab^3 +b^4}{a^4 +2a^3b +a^2 b^2 - a^2 b^2 - 2ab^3 - b^4}[/mm]
>  ergibt

Also: Deine allgemeine Formel geht hier natürlich auch!
Zu deiner Rechnung: [ok] :-)
  
> zusammengefasst kommt dann allederings [mm]2b\bruch{(a^3 + a^2b + b^3}{a^4 + 2a^3 b - 2ab^3 - b^4}[/mm]

[notok]

Also: Dein Nenner ist korrekt. Schaun wir uns mal den Zähler an:
[mm]\red{a^4}+2a³b+\underbrace{a²b^2+a^2b^2}_{=2a²b²}+\red{2ab^3}+\green{b^4}\red{-a^4 }+ 2a^3 b\underbrace{-a^2 b^2+a^2 b^2}_{=0} \red{-2ab^3} \green{+b^4}[/mm]
[mm] $=\green{2b^4}+4a^3b+2a²b²=2b(b^3+2a^3+a²b)$ [/mm]

Zusammengefasst erhält man also:
[mm] $(\star)=\bruch{2b(b^3+\red{2}a^3+a²b)}{a^4 + 2a^3 b - 2ab^3 - b^4}$ [/mm]

> heraus. jemand eine lösung dafür oder bin ich einfach zu
> blöd zum rechnen?

So, und jetzt zu deinem (vermutlich) eigentlichen Problem:
Wir lösen die Aufgabe anders, und zwar, indem wir den jeweiligen Nenner als Produkt schreiben und dann mit dem Hauptnenner weiterrechnen:

[mm] $\bruch{a²+b²}{a²-b²}-\bruch{(a-b)²}{a²+2ab+b²}$ [/mm]  
[mm] $\stackrel{1.\,und\,3.bin.\,Formel}=\bruch{a²+b²}{(a+b)(a-b)}-\bruch{(a-b)²}{(a+b)²}=:(\star_1)$ [/mm]
Deswegen ist der Hauptnenner:
$(a-b)(a+b)²$
und man erhält weiter:
[mm] $(\star_1)=\bruch{(a²+b²)(a+b)}{(a+b)²(a-b)}-\bruch{(a-b)³}{(a+b)²(a-b)}$ [/mm]
[mm] $=\bruch{a³+a²b+ab²+b³-a³+3a²b-3ab²+b³}{(a+b)²(a-b)}$ [/mm]
[mm] $=\bruch{2b³+4a²b-2ab²}{a³+a²b-ab²-b³}$ [/mm]

Du fragst dich nun, wie das mit [mm] $(\star)$ [/mm] zusammenhängt. Das ist ganz einfach. Erweitert man nun letzteres mit $(a+b)_$, so folgt:
[mm] $\bruch{2b³+4a²b-2ab²}{a³+a²b-ab²-b³}$ [/mm]
[mm] $=\bruch{(2b³+4a²b-2ab²)(a+b)}{(a³+a²b-ab²-b³)(a+b)}$ [/mm]
[mm] $=\bruch{2ab³+4a³b-2a²b²+2b^4+4a²b²-2ab³}{a^4+a³b-a²b²-ab³+a³b+a²b²-ab³-b^4}$ [/mm]
[mm] $=\bruch{2b^4+4a³b+2a²b²}{a^4+2a³b-2ab³-b^4}$ [/mm]
[mm] $=\bruch{2b(b³+2a³+a²b)}{a^4+2a³b-2ab³-b^4}$ [/mm]

Also das gleiche wie in [mm] $(\star)$. [/mm] Mit anderen Worten: [mm] $(\star)$ [/mm] kann man noch mit $(a+b)_$ kürzen.

Liebe Grüße
Marcel
Bezug
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