wie "zeigen" < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Di 18.05.2010 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Zeige:
$s_{n}=\log(1+\frac{1}{2})+\log(1+\frac{1}{3})...+\log(1+\frac{1}{n))$ ist gleich $s_{n}=\log(\frac{n+1}{2}) $ |
Hallo,
wie soll ich das aufzeigen? $\log(1+\frac{1}{n})$ ist ja NICHT gleich $ \log( \frac{n+1}{2}) $ ?!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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Hallo kushkush,
> Zeige:
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> [mm]s_{n}=\log(1+\frac{1}{2})+\log(1+\frac{1}{3})...+\log(1+\frac{1}{n))[/mm]
> ist gleich [mm]s_{n}=\frac{n+1}{2}[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Sicher, dass da nicht steht [mm] $s_n=\red{\log}\left(\frac{n+1}{2}\right)$ [/mm] ?
> Hallo,
>
>
> wie soll ich das aufzeigen? [mm]\log(1+\frac{1}{n})[/mm] ist ja
> NICHT gleich [mm]\log(\frac{n+1}{2})[/mm] ?!
Nun linkerhand steht doch die Summe [mm] $s_n=\sum\limits_{k=2}^{n}\log\left(1+\frac{1}{k}\right)$
[/mm]
Mache Induktion über n
IA: n=2: [mm] $\sum\limits_{k=2}^{2}\log\left(1+\frac{1}{k}\right)=\log\left(1+\frac{1}{2}\right)=\log\left(\frac{2}{2}+\frac{1}{2}\right)=\log\left(\frac{3}{2}\right)=\log\left(\frac{2+1}{2}\right)=s_2$
[/mm]
Passt also.
Für den Induktionsschritt [mm] $n\to [/mm] n+1$ zerlege die Summe [mm] $\sum\limits_{k=2}^{n+1}\log\left(1+\frac{1}{k}\right)$ [/mm] in [mm] $\left[ \ \sum\limits_{k=2}^{n}\log\left(1+\frac{1}{k}\right) \ \right] [/mm] \ + \ [mm] \log\left(1+\frac{1}{n+1}\right)$
[/mm]
Nun wende auf die Summe bis n die IV an und denke an die stadtbekannten Logarithmusgesetze!
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und
> bin für jede Antwort dankbar.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Di 18.05.2010 | | Autor: | kushkush |
hallo,
ich verstehe nicht wie ich die Induktionsvoraussetzung [mm] ($s_{n}=\frac{n+1}{2}$ [/mm] ??) hierauf "anwenden" kann.
Was ist damit gemeint? Also beweisen würde ich ja hiermit: [mm] $s_{n+1}=s_{n}+a_{n+1}$ [/mm] ? Ist dass das was du meinst?
danke
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Hallo kushkush!
> ich verstehe nicht wie ich die Induktionsvoraussetzung
> ([mm]s_{n}=\frac{n+1}{2}[/mm] ??) hierauf "anwenden" kann.
Muss es nicht [mm] $s_n [/mm] \ = \ [mm] \red{\log}\left(\bruch{n+1}{2}\right)$ [/mm] heißen (siehe auch oben)?
> Was ist damit gemeint? Also beweisen würde ich ja hiermit:
> [mm]s_{n+1}=s_{n}+a_{n+1}[/mm] ? Ist dass das was du meinst?
Ja genau das. Dies ist auch exakt die Vorgehensweise bei Induktionsbeweisen, dass man die Induktionsvoraussetzung anwendet.
Für [mm] $s_n$ [/mm] dann den bekannten Term einsetzen und beide Terme zusammenfassen (aber das stand auch oben schon so da als Tipp).
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Di 18.05.2010 | | Autor: | kushkush |
[mm] $\log(\frac{(n+1)+1}{2}= \log(\frac{n+1}{2})+ \left[\sum\limits_{k=2}^{n}\log(1+\frac{1}{k}) + \log\left(1+\frac{1}{n+1}\right) \right] [/mm] $
wie bekommt man das Summenzeichen weg?
danke!
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Hallo nochmal,
> [mm]\log(\frac{(n+1)+1}{2}= \log(\frac{n+1}{2})+ \left[\sum\limits_{k=2}^{n}\log(1+\frac{1}{k}) + \log\left(1+\frac{1}{n+1}\right) \right][/mm]
>
>
> wie bekommt man das Summenzeichen weg?
Irgendwie musst du dir das Prinzip der v.I. nochmal genauestens ansehen!
Ich habe doch oben geschrieben, was zu tun ist.
Also nochmal langsam aufgedröselt:
IA ist klar
IV: Sei [mm] $n\in\IN, n\ge [/mm] 2$ beliebig, aber fest und gelte: [mm] $\red{\sum\limits_{k=2}^{n}\log\left(1+\frac{1}{k}\right)=\log\left(\frac{n+1}{2}\right) \ (\star)}$
[/mm]
Nun ist im Induktionsschritt zu zeigen, dass die Gleichung auch für n+1 gilt, dass also gilt:
[mm] $\sum\limits_{k=2}^{n+1}\log\left(1+\frac{1}{k}\right)=\log\left(\frac{(n+1)+1}{2}\right)$
[/mm]
Dies ist zu zeigen, nimm also die linke Seite her und schreibe um, wie ich im ersten post geschrieben habe, um die IV anwenden zu können:
[mm] $\sum\limits_{k=2}^{n+1}\log\left(1+\frac{1}{k}\right)=\left[ \ \red{\sum\limits_{k=2}^{n}\log\left(1+\frac{1}{k}\right)} \ \right] [/mm] \ + \ [mm] \log\left(1+\frac{1}{n+1}\right)$
[/mm]
[mm] $=\red{\log\left(\frac{n+1}{2}\right)} [/mm] \ + \ [mm] \log\left(1+\frac{1}{n+1}\right)$ [/mm] nach IV (also nach [mm] $\red{(\star)}$)
[/mm]
Nun gilt [mm] $\log(a)+\log(b)=\log(a\cdot{}b)$
[/mm]
Damit bastel mal weiter, bis du die rechte Seite der zu zeigen Gleichung (also [mm] $\log\left(\frac{(n+1)+1}{2}\right)$) [/mm] dastehen hast ...
> danke!
Bitte
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Mi 19.05.2010 | | Autor: | kushkush |
Hat endlich geklappt!
[mm] $log(\frac{n+1}{2})\cdot (1+\frac{1}{n+1})$
[/mm]
[mm] $log(\frac{n+1}{2}+\frac{1}{2})$
[/mm]
=
[mm] $log\frac{n+2}{2}$
[/mm]
Dankeschön schachuzipus, Roadrunner und gfm.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Di 18.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Zeige:
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> [mm]s_{n}=\log(1+\frac{1}{2})+\log(1+\frac{1}{3})...+\log(1+\frac{1}{n))[/mm]
> ist gleich [mm]s_{n}=\log(\frac{n+1}{2})[/mm]
> Hallo,
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> wie soll ich das aufzeigen? [mm]\log(1+\frac{1}{n})[/mm] ist ja
> NICHT gleich [mm]\log( \frac{n+1}{2})[/mm] ?!
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und
> bin für jede Antwort dankbar.
[mm]e^{s_n}=\produkt_{j=2}^{n}\frac{j+1}{j}=\frac{3}{2}*\frac{4}{3}*...* \frac{n}{n-1}*\frac{n+1}{n}=\frac{n+1}{2}[/mm]
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