wie viele Q-Lineare Abbildunge < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Di 08.05.2007 | | Autor: | feri |
Hallo,
könnte jemand mir bei dieser Aufgabe einen Tipp geben?
Ich muss zeigen dass es unendlich viele Verschiedene Funktionen f [mm] \IR\to\IR [/mm] gibt, die die Bedingungen f(1)=1 und f(a+b)=f(a)+f(b) a,b [mm] \in\IR
[/mm]
erfüllen,
ich habe zuerst gezeigt, dass eine Funktion f mit f(a+b)=f(a)+f(b) a,b [mm] \in \IR [/mm] eine [mm] \IQ [/mm] -lineare Abbildung ist.
jetzt laut Teil ii der Aufgabe:
sollte man zeigen, unter der Annahme des Zornschen Lemmas, dass es unendlich viele solcher Funktionen f mit f(1)=1 gibt.
hier weiß ich nicht , womit oder wie ich anfangen soll.
Vielen Dank im Voraus!
feri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Di 08.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hi feri!
> könnte jemand mir bei dieser Aufgabe einen Tipp geben?
>
> Ich muss zeigen dass es unendlich viele Verschiedene
> Funktionen f [mm]\IR\to\IR[/mm] gibt, die die Bedingungen f(1)=1
> und f(a+b)=f(a)+f(b) a,b [mm]\in\IR[/mm]
> erfüllen,
> ich habe zuerst gezeigt, dass eine Funktion f mit
> f(a+b)=f(a)+f(b) a,b [mm]\in \IR[/mm] eine [mm]\IQ[/mm] -lineare
> Abbildung ist.
> jetzt laut Teil ii der Aufgabe:
> sollte man zeigen, unter der Annahme des Zornschen Lemmas,
> dass es unendlich viele solcher Funktionen f mit f(1)=1
> gibt.
> hier weiß ich nicht , womit oder wie ich anfangen
> soll.
Mit dem Zornschen Lemma kannst du dir eine [mm] $\IQ$-Vektorraumbasis [/mm] von [mm] $\IR$ [/mm] waehlen (und zwar eine, die als ersten Basisvektor 1 hat). Sobald du mehr als ein Basiselement hast (warum gibt es das?), kannst du das zweite auf etwas beliebiges abbilden [mm] ($\to$ [/mm] unendlich viele Moeglichkeiten).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Di 08.05.2007 | | Autor: | feri |
Hallo,
vielen Dank für die Hilfe!
also, soweit ich es verstanden habe, ich nehme eine Basis von R wie z.B.
[mm] \{ 1=b_{0} , b_{i} \} [/mm] und betrachte alle Teilmengen von R die 1 enthalten, dann weiß ich dass es für j genau eine lineare Funktion gibt mit
f ( [mm] b_{i} [/mm] ) = [mm] r_{i} \in R_{j}.
[/mm]
und da R unendlichdim. ist kann man unendlich viele Elementen von R so kombinieren dass jede das 1 hat und dann ?
da die Anzahl dieser kombinationen unendlich ist, (weil R unendlich ist), sollte die Anzahl dieser Abbildungen auch unendlich sein? oder fehlt noch etwas?
Vielen Dank nochmal!
schöne Grüße,
feri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Mi 09.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo feri!
> vielen Dank für die Hilfe!
> also, soweit ich es verstanden habe, ich nehme eine Basis
> von R wie z.B.
> [mm]\{ 1=b_{0} , b_{i} \}[/mm] und betrachte alle Teilmengen
Du meinst eher [mm] $\{ b_0, b_i \mid i \in I \}$, [/mm] wobei [mm] $b_0 [/mm] = 1$ und $I$ eine Indexmenge ist?
> von R die 1 enthalten,
Was fuer Teilmengen betrachtest du, bzw. wofuer?
> dann weiß ich dass es für j genau
> eine lineare Funktion gibt mit
> f ( [mm]b_{i}[/mm] ) = [mm]r_{i} \in R_{j}.[/mm]
...fuer jede Wahl von [mm] $r_i \in \IR$, [/mm] $i [mm] \in [/mm] I$? Und was ist [mm] $R_j$?
[/mm]
> und da R unendlichdim.
> ist kann man unendlich viele Elementen von R so
> kombinieren dass jede das 1 hat und dann ?
Den Satz versteh ich nicht.
Du musst doch einfach nur zu jedem [mm] $\lambda \in \IN$ [/mm] irgendeine [mm] $\IQ$-lineare [/mm] Abbildung [mm] $f_\lambda [/mm] : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f_\lambda(1) [/mm] = 1$ und [mm] $b_\lambda(b_1) [/mm] = [mm] \lambda b_1$, $\lambda \in \IN$ [/mm] konstruieren, wobei die Bilder der anderen Basisvektoren alle 0 seien (oder sonst irgendwie gewaehlt sind). Damit hast du schonmal abzaehlbar unendlich viele verschiedene [mm] $\IQ$-linearen [/mm] Abbildungen $f : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit $f(1) = 1$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Fr 11.05.2007 | | Autor: | feri |
Vielen Dank für die Hilfe und nette Antwort!
schöne Grüße!
feri
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