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Hallo!
Es geht um eine Verständnisfrage:
Und zwar, was genau der Unterschied zwischen Wegunabhängigkeit und Homotopieinvarianz des Kurvenintegrals ist.
Wegunabhängigkeit bedeutet, dass das Integral von zwei Kurven mit den gleichen Anfangs- und Endpunkt gleich ist, also das Integral von Anfangs- und Endpunkt, nicht vom Weg abhängt.
Homotopieinvarianz: Kurvenintegral von [mm] \gamma_{0}= [/mm] Kurvenintegral von [mm] \gamma_{1} [/mm] wenn [mm] \gamma_{0} [/mm] und [mm] \gamma_{1} [/mm] die gleichen Endpunkte hat.
Ist das nicht das gleiche? Oder liegt der Unterschied in den Voraussetzungen?
Kann mir jemand helfen?
Das wäre toll!
Grüßle, Lily
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 So 19.08.2012 | | Autor: | hippias |
Koennte es sein, dass die Homotopieinvarianz des Kurvenintegrals anders definiert ist, naemlich so, dass wennn [mm] $\gamma, \gamma'$ [/mm] homotope Wege sind, dass dann das entsprechende Integral laengs [mm] $\gamma$ [/mm] und [mm] $\gamma'$ [/mm] gleich sind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 So 19.08.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Lily!
> Hallo!
> Es geht um eine Verständnisfrage:
> Und zwar, was genau der Unterschied zwischen
> Wegunabhängigkeit und Homotopieinvarianz des
> Kurvenintegrals ist.
>
> Wegunabhängigkeit bedeutet, dass das Integral von zwei
> Kurven mit den gleichen Anfangs- und Endpunkt gleich ist,
> also das Integral von Anfangs- und Endpunkt, nicht vom Weg
> abhängt.
>
> Homotopieinvarianz: Kurvenintegral von [mm]\gamma_{0}=[/mm]
> Kurvenintegral von [mm]\gamma_{1}[/mm] wenn [mm]\gamma_{0}[/mm] und
> [mm]\gamma_{1}[/mm] die gleichen Endpunkte hat.
>
> Ist das nicht das gleiche?
Nein, das ist nicht immer das gleiche, das hängt von dem Raum ab, in dem die Wege liegen.
Zum Beispiel sind im [mm] $\IR^2$ [/mm] zwei Wege mit gleichem Anfangs- und Endpunkt auch homotop.
Betrachtest du aber die punktierte Ebene [mm] $\IR^2\setminus \{(0,0)\}$, [/mm] so gibt es dort Wege, die gleichen Anfangs- und Endpunkt haben, aber nicht homotop sind: der obere Halbkreis vom Radius 1 um den Ursprung ist nicht stetig in den unteren Halbkreis vom Radius 1 deformierbar, obwohl beide Wege von $(-1,0)$ nach $(+1,0)$ sind. Daher ist hier die Wegunabhängigkeit eine stärkere Aussage als die Homotopieinvarianz.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 So 19.08.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
Achso!
Danke 
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Ich hab doch noch eine Frage.
Und zwar sind die beiden Definitionen im Skript folgender Maßen:
Wegunabhängigkeit:
Sei [mm] X\in\IR^{n} [/mm] offen und wegweise zusammenhängend. Für das Vektorfeld [mm] F\in C^{0}(X,\IR^{n}) [/mm] gilt: Für je zwei Kurven [mm] \gamma_{0},\gamma_{1}\in PC^{1}([a,b],X) [/mm] mit [mm] \gamma_{0}(a)=\gamma_{1}(a) [/mm] und [mm] \gamma_{0}(b)=\gamma_{1}(b) [/mm] gilt: Kurvenintegral von [mm] \gamma_{0} [/mm] = Kurvenintegral von [mm] \gamma_{1}.
[/mm]
Homotopieinvarianz:
Sei [mm] X\in\IR^{n} [/mm] offen und [mm] F\in C^{1}(X,\IR^{n}) [/mm] mit [mm] D_{i}F_{j}=D_{j}F_{i} [/mm] für [mm] 1\le i,j\le [/mm] n. Sind [mm] \gamma_{0},\gamma_{1}\in PC^{1}([a,b],X) [/mm] homotop in X mit festen Endpunkten (oder geschlossen homotop), so gilt: Kurvenintegral von [mm] \gamma_{0} [/mm] = Kurvenintegral von [mm] \gamma_{1}.
[/mm]
Der Ausdruck
[mm] "\gamma_{0}(a)=\gamma_{1}(a) [/mm] und [mm] \gamma_{0}(b)=\gamma_{1}(b)"
[/mm]
ist doch schon inbegriffen in
"homotop in X mit festen Endpunkten"
oder?
Könnte man das also in den Definitionen angleichen?
Auch mit dem
"oder geschlossen homotop"?
Dass also in beiden Definitionen der Schlusssatz heißt:
"Sind [mm] \gamma_{0},\gamma_{1}\in PC^{1}([a,b],X) [/mm] homotop in X mit festen Endpunkten (oder geschlossen homotop), so gilt: Kurvenintegral von [mm] \gamma_{0} [/mm] = Kurvenintegral von [mm] \gamma_{1}."
[/mm]
?
Oder ist das eben ein Teil von der Definition, warum die Wegunabhängigkeit stärker ist?
Und zum ersten Teil der Definition:
Der Unterschied besteht ja vor allem darin, dass F bei der Wegunabhängigkeit nur aus [mm] C^{0} [/mm] und bei der Homotopieinvarianz aus [mm] C^{1} [/mm] sein muss, also stetig differenzierbar.
Was aber genau macht das "wegweise zusammenhängend" für einen Unterschied?
Kann mir hier jemand helfen?
Das wäre toll!
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Di 21.08.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Lily!
> Ich hab doch noch eine Frage.
> Und zwar sind die beiden Definitionen im Skript folgender
> Maßen:
>
> Wegunabhängigkeit:
> Sei [mm]X\in\IR^{n}[/mm] offen und wegweise zusammenhängend. Für
> das Vektorfeld [mm]F\in C^{0}(X,\IR^{n})[/mm] gilt: Für je zwei
> Kurven [mm]\gamma_{0},\gamma_{1}\in PC^{1}([a,b],X)[/mm] mit
> [mm]\gamma_{0}(a)=\gamma_{1}(a)[/mm] und [mm]\gamma_{0}(b)=\gamma_{1}(b)[/mm]
> gilt: Kurvenintegral von [mm]\gamma_{0}[/mm] = Kurvenintegral von
> [mm]\gamma_{1}.[/mm]
>
> Homotopieinvarianz:
> Sei [mm]X\in\IR^{n}[/mm] offen und [mm]F\in C^{1}(X,\IR^{n})[/mm] mit
> [mm]D_{i}F_{j}=D_{j}F_{i}[/mm] für [mm]1\le i,j\le[/mm] n. Sind
> [mm]\gamma_{0},\gamma_{1}\in PC^{1}([a,b],X)[/mm] homotop in X mit
> festen Endpunkten (oder geschlossen homotop), so gilt:
> Kurvenintegral von [mm]\gamma_{0}[/mm] = Kurvenintegral von
> [mm]\gamma_{1}.[/mm]
>
>
> Der Ausdruck
> [mm]"\gamma_{0}(a)=\gamma_{1}(a)[/mm] und
> [mm]\gamma_{0}(b)=\gamma_{1}(b)"[/mm]
> ist doch schon inbegriffen in
> "homotop in X mit festen Endpunkten"
> oder?
Nein. "homotop in X mit festen Endpunkten" bedeutet "[mm]\gamma_{0}(a)=\gamma_{1}(a)[/mm] und [mm]\gamma_{0}(b)=\gamma_{1}(b)[/mm]", aber nicht umgekehrt, wie dir das Beispiel mit den Halbkreisen aus meinem vorherigen Post zeigt: dort sind Anfangs- und Endpunkt identisch, die Halbkreise sind aber nicht homotop, da der Nullpunkt aus der Ebene herausgenommen wurde.
> Könnte man das also in den Definitionen angleichen?
> Auch mit dem
> "oder geschlossen homotop"?
Da ist es genauso: in der punktierten Ebene sind z.B ein Kreis um den Ursprung, und ein Kreis, der den Ursprung nicht umschließt, nicht geschlossen homotop. In der gesamten Ebene [mm] $\IR^2$ [/mm] sind sie es.
> Oder ist das eben ein Teil von der Definition, warum die
> Wegunabhängigkeit stärker ist?
Nicht direkt. Es liegt auch daran, dass Homotopie eine stärkere Einschränkung an die Kurven ist als die Forderung nach gemeinsamem Anfangs- und Endpunkt (weniger Kurven, die diese Voraussetzung erfüllen). Daher ist die Aussage über das Wegintegral bei Homotopie schwächer.
> Und zum ersten Teil der Definition:
> Der Unterschied besteht ja vor allem darin, dass F bei der
> Wegunabhängigkeit nur aus [mm]C^{0}[/mm] und bei der
> Homotopieinvarianz aus [mm]C^{1}[/mm] sein muss, also stetig
> differenzierbar.
Ja, denn in der Definiton steht ja einen Aussage über die Ableitungen. Die müssen daher existieren. Die stetige Differenzierbarkeit brauchst du vor allem für den Beweis, dass die Kurvenintegrale über die beiden Wege gleich sind.
> Was aber genau macht das "wegweise zusammenhängend" für
> einen Unterschied?
Das ist nötig, damit es überhaupt Wege von jedem Punkt der Menge X einen Weg zu jedem anderen Punkt in X gibt. Wenn X z.B. aus zwei disjunkten Kreisscheiben besteht, dann gibt es keinen Weg von einen Punkt der einen zu einem Punkt der anderen Kreisscheibe, und dann ergibt die Definition des Kurvenintegrals zwischen diesen Punkten keinen Sinn.
Bei der Definition der Homotopieinvarianz wird schon von der Menge der Wege ausgegangen. Für jeden Weg gibt es auch ein Kurvenintegral.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:33 Di 21.08.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
Super, danke!
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