von Teilmenge aufgesp. Teilrau < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 So 20.02.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
![[]](/images/popup.gif) Link-Text
Hab da mal einen Link zu einem Skriptum angegeben.
Es handelt sich um Kapitel 2.10(Der von einer Teilmenge aufgespannte Teilraum) wo ich eine Frage hätte bezüglich eines Vorstellungsproblems:
Angenommen K = [mm] \IR [/mm] und V = [mm] \IR^{2} [/mm] und S eine beliebige Teilmenge
{(3,2),(1,1),(3,3)}
Jetzt kann ich mir irgendwie U nicht so ganz vorstellen denn bei meinem Bsp. gibt es eigentlich nur 2 Teilräume(Gerade durch 0 und 0-Punkt) und was kann ich mir jetzt vorstellen unter dem Durchschnitt aller Teilräume die S enthalten. Ich meine dass sind ja eigentlich eh alle Punkte denn eine Gerade durch den Ursprung kann ja jeden Punkt erreichen. Komme da echt nicht auf einen grünen Zweig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 So 20.02.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Hab mitlerweile nachgedacht und möcht jetzt meine neuen Erkenntnisse bestetigt haben.Bei meinem Beispiel müsste der Durchschnitt doch 3 Teilräume(Geraden durch den Ursprung ) ergeben. Wieso ergeben 3 Geraden durch den Ursprung wiederum einen Untervektorraum (vielleicht weil ich damit wiederum R² bilden kann und dass ist ja V also ein klassischer Untervektorraum?)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 So 20.02.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Tja hab wieder was gefunden was im unmittelbaren Zusammenhang mit der ursprünglich gestellten Frage sein dürfte:
Sei T eine Teilmenge von V also T [mm] \subseteq [/mm] V (ist T somit automatisch ein Unterraum?)
L(T) (dasselbe wie Span(T)) := [mm] \cup [/mm] S [mm] \subseteq [/mm] T L(S)
S endlich
S sei eine endliche Teilmenge von V
Soweit ich das auffasse ist L(T) die Summe aller Teilräume von S die den Teilraum T enthalten, aber was macht plötzlich das S hier? Und warum steht anschließend noch L(S) da?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 So 20.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
eine anmerkung zu deinem beispiel: [m] S := \left\{ \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array} \right) \right\} [/m], dann ist [m] \textrm{Span} (S) = \mathbb{R}^2 [/m], denn der einzige teilraum von [m] \mathbb{R}^2 [/m], der die gesamte teilmenge [m] S [/m] enthält ist der [m] \mathbb{R}^2 [/m] selbst, denn in $S$ ist eine basis enthalten, nämlich [m] \left\{ \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)\right\} [/m] (diese vektoren sind offensichtlich linear unabhängig und zwei linear unabhängige vektoren in einem 2-dimensionalen vektorraum sind stets eine basis) und somit muss auch der gesamte [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] in jedem teilraum der $S$ enthält enthalten sein!
ein grundsätzliches verständniss problem ist vielleicht, dass der schnitt bei dieser definition über die teilräume gebildet wird, die die gesamte menge $S$ enthalten und nicht nur einzelne elemente daraus (deshalb kommen auch keine geraden oder noch kleiner räume bei der schnittbildung vor)! also wird hier wie oben beschrieben der schnitt nur über eine menge (nämlich den ganzen [mm] $\mathbb{R}^2$) [/mm] gebildet und diese eine menge ist dann somit auch gleich dem [mm] $\textrm{Span}(S)$!
[/mm]
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 So 20.02.2005 | | Autor: | Reaper |
Ahhh...danke..... was ich jetzt aber noch immer nicht kapiere ist diese komische Definition meiner Zusatzfrage.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:53 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Reaper
> Ahhh...danke..... was ich jetzt aber noch immer nicht
> kapiere ist diese komische Definition meiner Zusatzfrage.
>
Also das hier:
> Hallo
> Tja hab wieder was gefunden was im unmittelbaren Zusammenhang mit > der ursprünglich gestellten Frage sein dürfte:
>
> Sei T eine Teilmenge von V also T [mm] \subseteq [/mm] V (ist T somit automatisch ein
> Unterraum?)
>
Nein, das ist natürlich kein Unterraum!
Siehe dein angegebenes Beispiel mit den 3 einzelnen Vektoren!
> L(T) (dasselbe wie Span(T)) := [mm] \cup [/mm] S [mm] \subseteq [/mm] T L(S)
> S endlich
> S sei eine endliche Teilmenge von V
>
> Soweit ich das auffasse ist L(T) die Summe aller Teilräume von S die den > Teilraum T enthalten, aber was macht plötzlich das S hier? Und warum steht
> anschließend noch L(S) da?
Ich denke, das ist so gemeint: Nimm alle Teimengen S von T. Von jeder Teilmenge S bildest du L(S). Diese L(S) verden vereinigt. Fertig!
Die Reihenfolge in der Definition ist vielleicht etwas verwirrlich. Evtl hätte man das so schreiben können:
L(T) := [mm] \cup [/mm] L(S) mit S [mm] \subseteq [/mm] T
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:12 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo danke für die Amtwort. Nur um sicher zu gehen: Dass mit nimm alle Teilmengen S von T ist doch so gmeint oder:
angenommen T = {(3,2),(1,1),(4,3)}
Dann nehme ich einzeln (3,2) , (1,1) und (4,3) heraus und bilde mit denen eine Linearkombination oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Hexe |
Nicht ganz, auch z.B. [mm] \{(1,3);(1,1)\} [/mm] ist eine weitere Teilmenge. Es sind also wirklich alle möglichen gemeint
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Reaper |
Puhhh....danke..habs endlich kapiert.:)
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