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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Fr 17.10.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe |
Das Vollständigkeitsaxiom: Zu je 2 nichtleeren Teilmengen A und B von $ [mm] \IR [/mm] $ mit a $ [mm] \le [/mm] $ b $ [mm] \forall [/mm] $ a $ [mm] \in [/mm] $ A und $ [mm] b\in [/mm] $ B gibt es eine reelle Zahl t mit a $ [mm] \le [/mm] $ t $ [mm] \le [/mm] $ b $ [mm] \forall [/mm] $ a $ [mm] \in [/mm] $ A und b $ [mm] \in [/mm] $ B.
Zeige:
Man darf im Vollständigkeitsaxiom "a [mm] \le [/mm] b" durch "a<b" ersetzen.
Man darf im Vollständigkeitsaxiom nicht "a [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] b" durch "a<t<b" ersetzen. |
kann mir bitte jemand anschaulich erklären, was dies bedeutet? und wie beweise ich dies?
dank und gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Fr 17.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
zum ersten: natuerlich liegt auch zwischen [0,1] und [5,6] ne reelle zahl
zu 2, t kann doch in A oder in B liegen, [mm] A=[1.\wurzel{2}] B=(\wurzel{2}, [/mm] 5)
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:31 Fr 17.10.2008 | | Autor: | jura |
DANKE!
stimmt, bei 2.dürfte es ja sogar reichen, wenn ich ein gegenbeispiel bringe, oder?!
aber bei 1.genügt ja ein zahlenbsp sicherlich nicht--genau das ist ja mein problem! wie beweise ich das?
herzlichen dank für jeden tipp....
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> Das Vollständigkeitsaxiom: Zu je 2 nichtleeren Teilmengen A
> und B von [mm]\IR[/mm] mit a [mm]\le[/mm] b [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A und [mm]b\in[/mm] B gibt
> es eine reelle Zahl t mit a [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] b [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A und
> b [mm]\in[/mm] B.
>
> Zeige:
> Man darf im Vollständigkeitsaxiom "a [mm]\le[/mm] b" durch "a<b"
> ersetzen.
Hallo,
wenn a<b ist für alle a [mm]\in[/mm] A und [mm]b\in[/mm] B, kannst Du den von leduart angesprochenen Fall haben, aber auch (beispielsweise) diesen: A=[0, 2], B=(2, 7 ].
Auf jeden Fall hat dann A eine obere Schranke, welche gleichzeitig eine untere Schranke von B ist, und damit hat man so ein t wie benötigt gefunden.
> Man darf im Vollständigkeitsaxiom nicht "a [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] b"
> durch "a<t<b" ersetzen.
> kann mir bitte jemand anschaulich erklären, was dies
> bedeutet? und wie beweise ich dies?
Mit leduarts Beispiel oder vielen anderen, z.B.:
A=[0, 2], B=(2, 7 ]
Man hat hier a<b für alle a [mm]\in[/mm] A und [mm]b\in[/mm] B, es gibt jedoch kein t, welches "echt" dazwischenliegt, denn die 2 ist ja in A enhalten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:35 Sa 18.10.2008 | | Autor: | jura |
...es hat eine weile gedauert....aber ich glaube, nun habe ich es verstanden: der springende punkt sind ja die klammern--erst wenn man den unterschied zwischen ] und ( bedenkt, durchsteigt man, warum a immer "echt" kleiner ist als b im bsp. A=[0, 2], B=(2, 7 ]
es gibt ja schematisch gesehen verschiedene möglihkeiten:
[...] [....]
[...](....]
[...)[....]
immer ist a echt kleiner als b und a [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] b
> > Man darf im Vollständigkeitsaxiom nicht "a [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] b"
> > durch "a<t<b" ersetzen.
z.B.:
>
> A=[0, 2], B=(2, 7 ]
>
> Man hat hier a<b für alle a [mm]\in[/mm] A und [mm]b\in[/mm] B, es gibt
> jedoch kein t, welches "echt" dazwischenliegt, denn die 2
> ist ja in A enhalten.
muss ich hier dann korrekterweise schreiben: [mm] a\le [/mm] t <b ? oder ist das egal?
wenn ich die sachverhalte so darstelle, genügt das also für die aufgabenstellung?
>
> Gruß v. Angela
>
DANKE und gruß zurück
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> ...es hat eine weile gedauert....aber ich glaube, nun habe
> ich es verstanden: der springende punkt sind ja die
> klammern--erst wenn man den unterschied zwischen ] und (
> bedenkt, durchsteigt man, warum a immer "echt" kleiner ist
> als b im bsp. A=[0, 2], B=(2, 7 ]
>
> es gibt ja schematisch gesehen verschiedene möglihkeiten:
>
> [...] [....]
> [...](....]
> [...)[....]
>
> immer ist a echt kleiner als b und a [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] b
Hallo,
in Wahrheit gibt es natürlich noch viel mehr Möglichkeiten für Mengen, so daß die Elemente der einen Menge immer echt kleiner sind als die der anderen.
Es steht ja nirgends, daß nur Intervalle betrachtet werden sollen.
Es könnte auch [mm] A:=\{1,2,7} [/mm] und [mm] B:=(8,\infty)\ {4711\} [/mm] sein u.v.m.
Bei Aufgabe a) ist die Sache mit der oberen/unteren Schranke wichtig und unbedingt erwähnenswert.
(Ob Du deren Existenz nur erwähnen oder auch zeigen mußt, kann ich nicht einschätzen.)
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>
> > > Man darf im Vollständigkeitsaxiom nicht "a [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] b"
> > > durch "a<t<b" ersetzen.
>
> z.B.:
> >
> > A=[0, 2], B=(2, 7 ]
> >
> > Man hat hier a<b für alle a [mm]\in[/mm] A und [mm]b\in[/mm] B, es gibt
> > jedoch kein t, welches "echt" dazwischenliegt, denn die 2
> > ist ja in A enhalten.
>
> muss ich hier dann korrekterweise schreiben: [mm]a\le[/mm] t <b ?
> oder ist das egal?
Dein t ist hier ja die 2.
Ich würde es vielleicht so schreiben:
Mit t=2 hat man ein t wie im Vollständigkeitsaxiom gefunden.
Es ist jedoch, obgleich a<b für alle [mm] a\in [/mm] A, [mm] b\in [/mm] B ist, nicht a<t<b, sondern [mm] a\le [/mm] t=2 < b für alle [mm] a\in [/mm] A, [mm] b\in [/mm] B,
womit gezeigt ist, daß man [mm] a\le [/mm] t [mm] \le [/mm] b nicht durch a<t<b ersetzen kann.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 So 19.10.2008 | | Autor: | jura |
danke!
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