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| Aufgabe | Sei [mm] l^\infty [/mm] der Raum der beschränkten, reellen Folgen. Für eine Folge [mm] (a_n)_{n\in \bbmath{N}} \in l^\infty [/mm] setze:
vollständiger Raum
[mm] ||(a_n)||_\infty=sup\{|a_n|:n\in \bbmath{N}\}.
[/mm]
a) ....
b) Zeigen Sie, dass [mm] (l^\infty, ||*||_\infty) [/mm] vollständig ist. |
Hallo,
also der Raum heißt ja vollständig, wenn jede Cauchyfolge in [mm] l^\infty [/mm] konvergiert.
Ich habe aber leider immer noch Probleme mit Cauchyfolgen...also muss ich das jetzt wieder mit dem Epsilon-Delta-Kriterium zeigen? Das kriege ich nämlich so gut wie nie hin.
Ist eine Cauchyfolge automatisch konvergent? Könnte ich dann mit der Beschränktheit des Raumes argumentieren?
Denn es gilt ja, da [mm] (a_n)\in l^\infty [/mm] : [mm] ||(a_n)||_\infty [/mm] < [mm] \infty, [/mm] oder?
Hoffe das war jetzt nicht zu durcheinander alles und mir kann jemand helfen 
Beste Grüße
vom Congo
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Hallo,
> Sei [mm]l^\infty[/mm] der Raum der beschränkten, reellen Folgen.
> Für eine Folge [mm](a_n)_{n\in \bbmath{N}} \in l^\infty[/mm]
> setze:
> vollständiger Raum
> [mm]||(a_n)||_\infty=sup\{|a_n|:n\in \bbmath{N}\}.[/mm]
>
> a) ....
> b) Zeigen Sie, dass [mm](l^\infty, ||*||_\infty)[/mm] vollständig
> ist.
> Hallo,
>
> also der Raum heißt ja vollständig, wenn jede Cauchyfolge
> in [mm]l^\infty[/mm] konvergiert.
>
> Ich habe aber leider immer noch Probleme mit
> Cauchyfolgen...also muss ich das jetzt wieder mit dem
> Epsilon-Delta-Kriterium zeigen? Das kriege ich nämlich so
> gut wie nie hin.
> Ist eine Cauchyfolge automatisch konvergent? Könnte ich
> dann mit der Beschränktheit des Raumes argumentieren?
>
> Denn es gilt ja, da [mm](a_n)\in l^\infty[/mm] : [mm]||(a_n)||_\infty[/mm] <
> [mm]\infty,[/mm] oder?
Nein, das geht nicht. Das willst du doch gerade zeigen, dass der Raum vollständig ist!
Beginne so:
Sei [mm] $(x^{(n)})_{n\in\IN}\subset l^{\infty}$ [/mm] eine Cauchy-Folge solcher Folgen in [mm] l^{\infty}, [/mm] d.h.
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N\in\IN: \forall [/mm] n,m> N:$
[mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] ||x^{(n)} [/mm] - [mm] x^{(m)}|| [/mm] = [mm] \sup_{i\in\IN}|x_{i}^{(n)} [/mm] - [mm] x_{i}^{(m)}| \ge |x_{i}^{(n)} [/mm] - [mm] x_{i}^{(m)}|$ [/mm] für alle [mm] i\in\IN.
[/mm]
Ist dir das klar? Daraus folgt nun, dass für jedes [mm] i\in\IN [/mm] die Folge [mm] (x_{i}^{(n)})_{n\in\IN} [/mm] eine Cauchy-Folge ist.
Nun befinden wir uns aber in [mm] \IR, [/mm] denn die Folge [mm] (x_{i}^{(n)})_{n\in\IN} [/mm] ist eine Folge in [mm] \IR. \IR [/mm] ist vollständig, deswegen wissen wir, dass diese Folge konvergiert und auch einen Limes in [mm] \IR [/mm] hat. Diesen nennen wir [mm] x_{i}. [/mm] Wir haben also jetzt die einzelnen Komponenten der Folge [mm] $(x^{(n)})_{n\in\IN}$ [/mm] konvergieren lassen und so eine Grenzfolge erhalten.
Es ist nun naheliegend, die Folge [mm] (x_{i})_{i\in\IN} [/mm] als Grenzfolge der Folge [mm] $(x^{(n)})_{n\in\IN}$ [/mm] zu wählen.
Es bleibt nun noch zweierlei zu zeigen:
1. Die soeben konstruierte Folge $ [mm] (x_{i})_{i\in\IN}$ [/mm] ist wirklich Grenzwert der Folge [mm] $(x^{(n)})_{n\in\IN}$ [/mm] bzgl. der obigen Norm (das ist nicht selbstverständlich! Wir wissen bloß, dass die einzelnen Komponenten der Folgen gegeneinander konvergieren).
2. Die konstruierte Folge liegt überhaupt in [mm] l^{\infty}. [/mm] (Dies ergibt sich sofort aus 1.).
Um 1. zu zeigen, brauchst du nun einige Grenzwertbetrachtungen.
Wir wissen bereits:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N\in\IN: \forall [/mm] n,m> N$, [mm] \forall M\in\IN
[/mm]
[mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] ||x^{(n)} [/mm] - [mm] x^{(m)}|| [/mm] = [mm] \sup_{i\in\IN}|x_{i}^{(n)} [/mm] - [mm] x_{i}^{(m)}| \ge \sup_{1\le i\le M}|x_{i}^{(n)} [/mm] - [mm] x_{i}^{(m)}|$
[/mm]
(Das Supremum über alle natürlichen Zahlen wird über eine größere Menge gebildet und ist deswegen größer). Da obige Aussage für alle $m > N$ gilt und m unabhängig von allen anderen Variablen ist, können wir den Grenzprozess [mm] m\to\infty [/mm] betrachten und erhalten die Aussage:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N\in\IN: \forall [/mm] n > N$, [mm] \forall M\in\IN
[/mm]
[mm] $\varepsilon \ge \sup_{1\le i\le M}|x_{i}^{(n)} [/mm] - [mm] x_{i}|$
[/mm]
Dabei haben wir benutzt, dass [mm] $(x_{i}^{(n)})_{n\in\IN}\to x_{i}$ [/mm] konvergiert für alle [mm] i\in\IN.
[/mm]
Diese Aussage ist nun wiederum ebenfalls unabhängig von der Wahl von M, d.h. wir können [mm] M\to\infty [/mm] betrachten und erhalten:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N\in\IN: \forall [/mm] n > N$
[mm] $\varepsilon \ge \sup_{i\in\IN}|x_{i}^{(n)} [/mm] - [mm] x_{i}|$
[/mm]
Was bedeutet das?
Grüße,
Stefan
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> Beginne so:
> Sei [mm](x^{(n)})_{n\in\IN}\subset l^{\infty}[/mm] eine
> Cauchy-Folge solcher Folgen in [mm]l^{\infty},[/mm] d.h.
>
> [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists N\in\IN: \forall n,m> N:[/mm]
>
> [mm]\varepsilon > ||x^{(n)} - x^{(m)}|| = \sup_{i\in\IN}|x_{i}^{(n)} - x_{i}^{(m)}| \ge |x_{i}^{(n)} - x_{i}^{(m)}|[/mm]
> für alle [mm]i\in\IN.[/mm]
>
> Ist dir das klar?
Ja, bis hierhin versteh ichs.
> Daraus folgt nun, dass für jedes [mm]i\in\IN[/mm]
> die Folge [mm](x_{i}^{(n)})_{n\in\IN}[/mm] eine Cauchy-Folge ist.
> Nun befinden wir uns aber in [mm]\IR,[/mm] denn die Folge
> [mm](x_{i}^{(n)})_{n\in\IN}[/mm] ist eine Folge in [mm]\IR. \IR[/mm] ist
> vollständig, deswegen wissen wir, dass diese Folge
> konvergiert und auch einen Limes in [mm]\IR[/mm] hat. Diesen nennen
> wir [mm]x_{i}.[/mm] Wir haben also jetzt die einzelnen Komponenten
> der Folge [mm](x^{(n)})_{n\in\IN}[/mm] konvergieren lassen und so
> eine Grenzfolge erhalten.
>
> Es ist nun naheliegend, die Folge [mm](x_{i})_{i\in\IN}[/mm] als
> Grenzfolge der Folge [mm](x^{(n)})_{n\in\IN}[/mm] zu wählen.
> Es bleibt nun noch zweierlei zu zeigen:
>
> 1. Die soeben konstruierte Folge [mm](x_{i})_{i\in\IN}[/mm] ist
> wirklich Grenzwert der Folge [mm](x^{(n)})_{n\in\IN}[/mm] bzgl. der
> obigen Norm (das ist nicht selbstverständlich! Wir wissen
> bloß, dass die einzelnen Komponenten der Folgen
> gegeneinander konvergieren).
> 2. Die konstruierte Folge liegt überhaupt in [mm]l^{\infty}.[/mm]
> (Dies ergibt sich sofort aus 1.).
>
> Um 1. zu zeigen, brauchst du nun einige
> Grenzwertbetrachtungen.
> Wir wissen bereits:
>
> [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists N\in\IN: \forall n,m> N[/mm],
> [mm]\forall M\in\IN[/mm]
> [mm]\varepsilon > ||x^{(n)} - x^{(m)}|| = \sup_{i\in\IN}|x_{i}^{(n)} - x_{i}^{(m)}| \ge \sup_{1\le i\le M}|x_{i}^{(n)} - x_{i}^{(m)}|[/mm]
>
> (Das Supremum über alle natürlichen Zahlen wird über
> eine größere Menge gebildet und ist deswegen größer).
> Da obige Aussage für alle [mm]m > N[/mm] gilt und m unabhängig von
> allen anderen Variablen ist, können wir den Grenzprozess
> [mm]m\to\infty[/mm] betrachten und erhalten die Aussage:
>
> [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists N\in\IN: \forall n > N[/mm],
> [mm]\forall M\in\IN[/mm]
> [mm]\varepsilon \ge \sup_{1\le i\le M}|x_{i}^{(n)} - x_{i}|[/mm]
>
> Dabei haben wir benutzt, dass [mm](x_{i}^{(n)})_{n\in\IN}\to x_{i}[/mm]
> konvergiert für alle [mm]i\in\IN.[/mm]
> Diese Aussage ist nun wiederum ebenfalls unabhängig von
> der Wahl von M, d.h. wir können [mm]M\to\infty[/mm] betrachten und
> erhalten:
>
> [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists N\in\IN: \forall n > N[/mm]
>
> [mm]\varepsilon \ge \sup_{i\in\IN}|x_{i}^{(n)} - x_{i}|[/mm]
>
> Was bedeutet das?
Wenn ich es richtig verstanden habe, dass alle Grenzwert-Folgen [mm] x_i^{(n)} [/mm] von der Cauchy-Folge [mm] x^{(n)} [/mm] gegen [mm] x_i [/mm] konvergieren, oder? Wenn dem so ist, woher wissen wir dass [mm] x^{(n)}_i [/mm] in [mm] l^\infty [/mm] liegt? Denn das ist ja z.z., damit [mm] l^\infty [/mm] vollständig ist, oder?
Vielen Dank für deine große Mühe, ich lese mir das ganze noch ein paar mal durch. Ist alles noch ein bisschen schwer vorstellbar für mich.
Beste Grüße
congo
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Hallo,
> > Beginne so:
> > Sei [mm](x^{(n)})_{n\in\IN}\subset l^{\infty}[/mm] eine
> > Cauchy-Folge solcher Folgen in [mm]l^{\infty},[/mm] d.h.
> >
> > [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists N\in\IN: \forall n,m> N:[/mm]
>
> >
> > [mm]\varepsilon > ||x^{(n)} - x^{(m)}|| = \sup_{i\in\IN}|x_{i}^{(n)} - x_{i}^{(m)}| \ge |x_{i}^{(n)} - x_{i}^{(m)}|[/mm]
> > für alle [mm]i\in\IN.[/mm]
> >
> > Ist dir das klar?
>
> Ja, bis hierhin versteh ichs.
>
> > Daraus folgt nun, dass für jedes [mm]i\in\IN[/mm]
> > die Folge [mm](x_{i}^{(n)})_{n\in\IN}[/mm] eine Cauchy-Folge ist.
> > Nun befinden wir uns aber in [mm]\IR,[/mm] denn die Folge
> > [mm](x_{i}^{(n)})_{n\in\IN}[/mm] ist eine Folge in [mm]\IR. \IR[/mm] ist
> > vollständig, deswegen wissen wir, dass diese Folge
> > konvergiert und auch einen Limes in [mm]\IR[/mm] hat. Diesen nennen
> > wir [mm]x_{i}.[/mm] Wir haben also jetzt die einzelnen Komponenten
> > der Folge [mm](x^{(n)})_{n\in\IN}[/mm] konvergieren lassen und so
> > eine Grenzfolge erhalten.
> >
> > Es ist nun naheliegend, die Folge [mm](x_{i})_{i\in\IN}[/mm] als
> > Grenzfolge der Folge [mm](x^{(n)})_{n\in\IN}[/mm] zu wählen.
> > Es bleibt nun noch zweierlei zu zeigen:
> >
> > 1. Die soeben konstruierte Folge [mm](x_{i})_{i\in\IN}[/mm] ist
> > wirklich Grenzwert der Folge [mm](x^{(n)})_{n\in\IN}[/mm] bzgl. der
> > obigen Norm (das ist nicht selbstverständlich! Wir wissen
> > bloß, dass die einzelnen Komponenten der Folgen
> > gegeneinander konvergieren).
> > 2. Die konstruierte Folge liegt überhaupt in
> [mm]l^{\infty}.[/mm]
> > (Dies ergibt sich sofort aus 1.).
> >
> > Um 1. zu zeigen, brauchst du nun einige
> > Grenzwertbetrachtungen.
> > Wir wissen bereits:
> >
> > [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists N\in\IN: \forall n,m> N[/mm],
> > [mm]\forall M\in\IN[/mm]
> > [mm]\varepsilon > ||x^{(n)} - x^{(m)}|| = \sup_{i\in\IN}|x_{i}^{(n)} - x_{i}^{(m)}| \ge \sup_{1\le i\le M}|x_{i}^{(n)} - x_{i}^{(m)}|[/mm]
>
> >
> > (Das Supremum über alle natürlichen Zahlen wird über
> > eine größere Menge gebildet und ist deswegen größer).
> > Da obige Aussage für alle [mm]m > N[/mm] gilt und m unabhängig von
> > allen anderen Variablen ist, können wir den Grenzprozess
> > [mm]m\to\infty[/mm] betrachten und erhalten die Aussage:
> >
> > [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists N\in\IN: \forall n > N[/mm],
> > [mm]\forall M\in\IN[/mm]
> > [mm]\varepsilon \ge \sup_{1\le i\le M}|x_{i}^{(n)} - x_{i}|[/mm]
>
> >
> > Dabei haben wir benutzt, dass [mm](x_{i}^{(n)})_{n\in\IN}\to x_{i}[/mm]
> > konvergiert für alle [mm]i\in\IN.[/mm]
> > Diese Aussage ist nun wiederum ebenfalls unabhängig
> von
> > der Wahl von M, d.h. wir können [mm]M\to\infty[/mm] betrachten und
> > erhalten:
> >
> > [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists N\in\IN: \forall n > N[/mm]
> >
>
> > [mm]\varepsilon \ge \sup_{i\in\IN}|x_{i}^{(n)} - x_{i}|[/mm]
> >
> > Was bedeutet das?
>
> Wenn ich es richtig verstanden habe, dass alle
> Grenzwert-Folgen [mm]x_i^{(n)}[/mm] von der Cauchy-Folge [mm]x^{(n)}[/mm]
> gegen [mm]x_i[/mm] konvergieren, oder?
Das wussten wir schon vor den Grenzwertbetrachtungen. Die letzte Zeile ist doch:
[mm] $\varepsilon \ge \sup_{i\in\IN}|x_{i}^{(n)} [/mm] - [mm] x_{i}| [/mm] = [mm] ||x^{(n)}-x||$
[/mm]
(wobei $x = [mm] (x_{i})_{i\in\IN}$ [/mm] ), das heißt wir haben gezeigt, dass [mm] (x^{(n)})_{n\in\IN} [/mm] bzgl. der gegebenen Norm gegen x konvergiert. Daraus können wir insbesondere leicht ablesen, dass [mm] (x^{(n)}-x)\in l^{\infty}. [/mm] Dass [mm] x\in l^{\infty}, [/mm] folgt dann sofort aus $x = [mm] x^{(n)} [/mm] - [mm] (x^{(n)} [/mm] - x)$ und der Vektorraumeigenschaft von [mm] l^{\infty}.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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Ok, vielen vielen Dank! Das hat mir wirklich geholfen.
Grüße
congo
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