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| Aufgabe | | Zeigen sie mit Hilfe der vollständigen Induktuion dass das Produkt aus n*(n+1)*(2n+1) für alle natürlichen Zahlen n größer gleich 1 durch 6 teilbar ist. |
hallo, meine frage betrifft die schreibweise des 2. schrittes und das ende vom 3. schritt. ich schreibe dennoch die ganze aufgabe hier hin.
1.) induktionsanfang: die identität gilt für n=1
1*(1+1)*(2*1+1) = 1*2*3=6 und 6 ist [mm] \equiv [/mm] 0 mod 6
2.) induktionsannahme: identität gilt für alle k [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] 1\le [/mm] k [mm] \le [/mm] n
3.) Induktionsschritt: zu zeigen ist dass die identität auch für (n+1) gilt
(n+1)*(n+1+1)*(2*(n+1)+1) = [mm] (n^2+3n+2) [/mm] * (2n+3) = [mm] (2n^3+9n^2+13n+6) [/mm]
so nun schreibe ich dann immer kurz hin dass schritt 1) induktionsanfang ausmultipliziert [mm] 2n^3+3n^2+n [/mm] ist.
das ziehe ich mir dann oben herraus.
das ergibt: [mm] (2n^3+3n^2+n) [/mm] + [mm] 6n^2+12n+6 [/mm]
dann sage ich: der erste summand ist ja mein induktionsanfang, und der 2. summand ist = [mm] 6*(n^2+2n+1) [/mm] also ein vielfaches von 6 und somit sind beide summanden equiv 0 mod 6 also auch das ergebnis equiv 0 mod 6.
nun gehts eben um diesen letzten schritt. ein kollege meint ich habe ja nicht den induktionsanfang wieder herraus gezogen, sondern die umgeformte version. ich müsse aber die genau aufgabenstellung sozusagen herraus ziehen also n*(n+1)*(2n+1)
ist das so wie ichs gemacht habe richtig? oder darf man das nicht. sprich habe ich es mir da zu einfach gemacht
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Hi,
> Zeigen sie mit Hilfe der vollständigen Induktuion dass
> das Produkt aus n*(n+1)*(2n+1) für alle natürlichen
> Zahlen n größer gleich 1 durch 6 teilbar ist.
> hallo, meine frage betrifft die schreibweise des 2.
> schrittes und das ende vom 3. schritt. ich schreibe dennoch
> die ganze aufgabe hier hin.
>
> 1.) induktionsanfang: die identität gilt für n=1
>
> 1*(1+1)*(2*1+1) = 1*2*3=6 und 6 ist [mm]\equiv[/mm] 0 mod 6
>
> 2.) induktionsannahme: identität gilt für alle k [mm]\in \IN[/mm]
> mit [mm]1\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n
>
> 3.) Induktionsschritt: zu zeigen ist dass die identität
> auch für (n+1) gilt
>
> (n+1)*(n+1+1)*(2*(n+1)+1) = [mm](n^2+3n+2)[/mm] * (2n+3) =
> [mm](2n^3+9n^2+13n+6)[/mm]
>
> so nun schreibe ich dann immer kurz hin dass schritt 1)
> induktionsanfang ausmultipliziert [mm]2n^3+3n^2+n[/mm] ist.
Du meinst die IV für n:
[mm] \qquad n(n+1)(2n+1)=2n^3+3n^2+n
[/mm]
>
> das ziehe ich mir dann oben heraus.
>
> das ergibt: [mm](2n^3+3n^2+n)[/mm] + [mm]6n^2+12n+6[/mm]
>
> dann sage ich: der erste summand ist ja mein
> induktionsanfang, und der 2. summand ist = [mm]6*(n^2+2n+1)[/mm]
> also ein vielfaches von 6 und somit sind beide summanden
> equiv 0 mod 6 also auch das ergebnis equiv 0 mod 6.
>
> nun gehts eben um diesen letzten schritt. ein kollege meint
> ich habe ja nicht den induktionsanfang wieder herraus
> gezogen, sondern die umgeformte version. ich müsse aber
> die genau aufgabenstellung sozusagen herraus ziehen also
> n*(n+1)*(2n+1)
Ist doch der gleiche Ausdruck, muss natürlich gekennzeichnet werden.
Nochmal: Verwendet wird die IV, nicht der I-Anfang 
>
> ist das so wie ichs gemacht habe richtig? oder darf man das
> nicht. sprich habe ich es mir da zu einfach gemacht
Es stimmt schon, aber aufschreiben kann man es strukturierter:
z.z. [Induktionsbehauptung für n+1]: [mm] $(n+1)(n+2)(2n+3)\equiv0\mod [/mm] 6$
Zum beweis wird die IB umgeformt:
[mm] (n+1)(n+2)(2n+3)=2n^3+9n^2+13n+6=\blue{2n^3+3n^2+n}+6n^2+12n+6=\blue{n(n+1)(2n+1)}+6(n^2+2n+1)
[/mm]
Für das blaue wird die IV verwendet und der Rest ist wie von dir begründet durch 6 teilbar. Damit folgt die Behauptung auch für n+1
Gruß
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kurze frage,...war ist IV und was Ist IB. gut induktionsanfang ist falsch das stimmt. das ist ja nicht der ausgangsausdruck, sondern ist ja explizit der beweis mit n=1. also abgesehen von den fragen oben, reicht es vollkommen wenn ich das was ich geschrieben habe, nochmal so hisnchreibe wies in der aufgabe stand...?
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> kurze frage,...war ist IV und was Ist IB.
Induktionsvoraussetzung & - behauptung.
> gut induktionsanfang ist falsch das stimmt. das ist ja nicht
> der ausgangsausdruck, sondern ist ja explizit der beweis
> mit n=1. also abgesehen von den fragen oben, reicht es
> vollkommen wenn ich das was ich geschrieben habe, nochmal
> so hisnchreibe wies in der aufgabe stand...?
Was meinst du mit "wies in der Aufgabe stand"? Verwendet wird die Induktionsvoraussetzung, das ist die Aussage für n.
Diese sieht genauso wie die Behauptung in der Aufgabenstellung aus.
LG
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