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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Mo 19.09.2005 | | Autor: | Luke |
Hallo und servus,
ich habe diese Aufgabe im Netz gefunden, da ich dieses Thema gerade in einem Mathe-Vorbereitungskurs behandel.
Ich verstehe den großen Teil der Aufgabe gut, nur der letzte Punkt vom Beweis geht mir nicht ganz in den Kopf.Warum und wie kann ich durch eine Summe über dem Bruch teilen? Vor allem in diesem Beispiel.Und das mit der 3.binomischen Formel ist mir auch nicht einleuchtend.
Für eine Erklärung der ganzen Aufgabe wäre ich auch dankbar, oder für Denkansätze, da ich mir schon länger den Kopf drüber zerbreche.
Ps.:was soll unter Punkt 1 durch x-1 teilbar, das ist doch irrelevant für die Aufgabe, es geht doch um x-y oder???
Behauptung:
für alle n,x,y (x¹y) aus N ist xn+1 + xny - xyn - yn+1 durch x-y teilbar
Beweis:
Die Aussage für n=1:
x2 + xy - xy - y2 = x2 - y2 = (x+1)(x-1) ist durch x-1 teilbar,
ist sicher richtig
Schluss A(n) auf A(n+1):
Wir beginnen bei dem Term für A(n), verändern seine Gestalt so, dass man die Induktionsvoraussetzung verwenden kann.
xn+2 + xn+1y - xyn+1 - yn+2 =
x(xn+1 + xny - yn+1 - xyn) + x2yn - yn+2 =
x(xn+1 + xny - yn+1 - xyn) + yn(x2 - y2)
Der erste Summand ist unter der Annahme der Richtigkeit von A(n) durch (x-y) teilbar, der zweite Summand wegen der 3ten binomischen Formel, damit ist die Summe durch (x-y) teilbar; also ist A(n+1), wenn A(n) richtig ist, ebenfalls richtig
Ich habe hier einige Threads durchsucht, aber leider nichts zu diesem Thema gefunden.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke im Vorraus
Luke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:00 Di 20.09.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Luke,
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> ich habe diese Aufgabe im Netz gefunden, da ich dieses
> Thema gerade in einem Mathe-Vorbereitungskurs behandel.
> Ich verstehe den großen Teil der Aufgabe gut, nur der
> letzte Punkt vom Beweis geht mir nicht ganz in den
> Kopf.Warum und wie kann ich durch eine Summe über dem Bruch
> teilen? Vor allem in diesem Beispiel.Und das mit der
Das verstehe ich nicht ganz, was meinst du? In deinem Beispiel kommt doch gar kein Bruch vor?
Meinst du sowas hier [mm] $\bruch{x-y}{x^2-y^2}=\bruch{x-y}{(x-y)(x+y)}=\bruch{1}{x+y}$?
[/mm]
> 3.binomischen Formel ist mir auch nicht einleuchtend.
> Für eine Erklärung der ganzen Aufgabe wäre ich auch
> dankbar, oder für Denkansätze, da ich mir schon länger den
> Kopf drüber zerbreche.
> Ps.:was soll unter Punkt 1 durch x-1 teilbar, das ist doch
> irrelevant für die Aufgabe, es geht doch um x-y oder???
Welcher Punkt 1?
>
> Behauptung:
> für alle n,x,y (x¹y) aus N ist xn+1 + xny - xyn - yn+1
> durch x-y teilbar
Meinst du hier vielleicht:
[mm] $x^{n+1}+x^n*y-x*y^n-y^{n+1}$ [/mm] ist teilbar durch $x-y$?
Deine Schreibweise ist nicht gerade entgegenkommend für jemanden, der dir gerne helfen will, der aber nicht eine halbe Stunde dafür aufbringen will, die Frage zu entschlüsseln. Du hättest doch wenigstens irgendwie kennzeichnen können, dass es sich hier um Potenzen handelt...
> Beweis:
>
> Die Aussage für n=1:
> x2 + xy - xy - y2 = x2 - y2 = (x+1)(x-1) ist durch x-1
> teilbar,
> ist sicher richtig
>
> Schluss A(n) auf A(n+1):
> Wir beginnen bei dem Term für A(n), verändern seine Gestalt
> so, dass man die Induktionsvoraussetzung verwenden kann.
>
> xn+2 + xn+1y - xyn+1 - yn+2 =
> x(xn+1 + xny - yn+1 - xyn) + x2yn - yn+2 =
> x(xn+1 + xny - yn+1 - xyn) + yn(x2 - y2)
In Menschenschreibweise:
[mm] $x^{n+2}+x^{n+1}*y-x*y^{n+1}-y^{n+2}$
[/mm]
[mm] $=x(x^{n+1} [/mm] + [mm] x^n [/mm] y - [mm] y^{n+1} [/mm] - [mm] x*y^n) [/mm] + [mm] x^2 y^n [/mm] - [mm] y^{n+2}$
[/mm]
[mm] $=x(x^{n+1} [/mm] + [mm] x^n*y [/mm] - [mm] y^{n+1} [/mm] - [mm] x*y^n) [/mm] + [mm] y^n(x^2 [/mm] - [mm] y^2) [/mm] $
> Der erste Summand ist unter der Annahme der Richtigkeit von
> A(n) durch (x-y) teilbar, der zweite Summand wegen der 3ten
> binomischen Formel, damit ist die Summe durch (x-y)
> teilbar; also ist A(n+1), wenn A(n) richtig ist, ebenfalls
> richtig
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , das ist genau die richtige Argumentation.
> Ich habe hier einige Threads durchsucht, aber leider
> nichts zu diesem Thema gefunden.
Was willst du denn noch wissen?
Viele Grüße,
Marc
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