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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Mi 01.12.2010 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | Wenn nicht anderes angegeben ist , dann gelten die Behauptungen für [mm] n\varepsilon \IN [/mm] (1,2,3...)
[mm] n^{2}+n [/mm] ist gerade (d.h durch 2 teilbar) |
Hallo und guten abend,
ich habe gerade versucht diese Aufgabe zu lösen udn bin jetzt völlig verwirrt, da ich diese Aufgabe mit dem Löser vergleichen wollte und anscheinend mein Rechenweg komplett falsch ist. Daher möchte ich einmal meinen Weg und den Rechenweg aus dem Löser zeigen.Zuerst kommt mein Rechenweg, dann der komplette aus dem Löser
Induktionsanfang: n=1
[mm] \bruch{1^{2}+1}{2} [/mm] = 1 ( ist aber keine gerade zahl)
Induktionsvorraussetzung:
- Identität gilt für alle [mm] n\varepsilon \{1,2,.....,N\}
[/mm]
Induktionsschluss: [mm] \bruch{N^{2}+N}{2}+(N+1)
[/mm]
= [mm] \bruch{N^{2}+N}{2}+\bruch{2N+1}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{N^{2}+N+2N+1}{2}
[/mm]
jetzt die Lösung aus dem Löser:
[mm] n^{2}+n [/mm] ist eine gerade durch 2 teilbare Zahl für alle [mm] n\ge [/mm] 0 ( die 0 hatte ich nicht genommen weil das zu der im Aufgaben text stehenden Bedingung nicht passte)
Induktionsanfang [mm] n=\bruch{0^{2}+0}{2}=0
[/mm]
Induktionsvorraussetzung: [mm] (n+1)^{2}+(n+1) [/mm]
Induktionsschluss: [mm] (n+1)^{2}+(n+1) [/mm] = [mm] n^{2}+2n+1+n+1=n^{2}+3n+2
[/mm]
[mm] =(n^{2}+n)+(2n+2)
[/mm]
[mm] =(n^{2}+n)+2(n+1)
[/mm]
Was mache ich falsch? Bin jetzt total verwirrt
MFG
RWBK
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Mi 01.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
machs Dir doch leicht
[mm] n^2+n=n(n+1)
[/mm]
Wenn n gerade ist, ist auch n(n+1) gerade. Ist n ungerade, dann ist n+1 gerade und n(n+1) ist wieder gerade.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Mi 01.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Wenn nicht anderes angegeben ist , dann gelten die
> Behauptungen für [mm]n\varepsilon \IN[/mm] (1,2,3...)
> [mm]n^{2}+n[/mm] ist gerade (d.h durch 2 teilbar)
> Hallo und guten abend,
>
> ich habe gerade versucht diese Aufgabe zu lösen udn bin
> jetzt völlig verwirrt, da ich diese Aufgabe mit dem Löser
> vergleichen wollte und anscheinend mein Rechenweg komplett
> falsch ist. Daher möchte ich einmal meinen Weg und den
> Rechenweg aus dem Löser zeigen.Zuerst kommt mein
> Rechenweg, dann der komplette aus dem Löser
>
> Induktionsanfang: n=1
> [mm]\bruch{1^{2}+1}{2}[/mm] = 1 ( ist
> aber keine gerade zahl)
Wieso teilst Du durch 2?
> Induktionsvorraussetzung:
> - Identität gilt für alle [mm]n\varepsilon \{1,2,.....,N\}[/mm]
>
> Induktionsschluss: [mm]\bruch{N^{2}+N}{2}+(N+1)[/mm]
Wieso teilst Du durch 2? Richtig wäre [mm] (n+1)^2+(n+1)
[/mm]
> = [mm]\bruch{N^{2}+N}{2}+\bruch{2N+1}{2}[/mm]
> [mm]=\bruch{N^{2}+N+2N+1}{2}[/mm]
>
> jetzt die Lösung aus dem Löser:
>
> [mm]n^{2}+n[/mm] ist eine gerade durch 2 teilbare Zahl für alle
> [mm]n\ge[/mm] 0 ( die 0 hatte ich nicht genommen weil das zu der im
> Aufgaben text stehenden Bedingung nicht passte)
> Induktionsanfang [mm]n=\bruch{0^{2}+0}{2}=0[/mm]
Wiso wird durch 2 geteilt?
> Induktionsvorraussetzung: [mm](n+1)^{2}+(n+1)[/mm]
Die Voraussetzung ist [mm] n^2+n [/mm] ist gerade
> Induktionsschluss: [mm](n+1)^{2}+(n+1)[/mm] =
> [mm]n^{2}+2n+1+n+1=n^{2}+3n+2[/mm]
> [mm]=(n^{2}+n)+(2n+2)[/mm]
> [mm]=(n^{2}+n)+2(n+1)[/mm]
[mm] n^2+n [/mm] ist laut IA gerade und der letzte Term weil er mit 2 multipliziert wird. Zwei gerade Zahlen addiert ergibt wieder was gerades.
> Was mache ich falsch? Bin jetzt total verwirrt
Ich hoffe ich konnte helfen
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> MFG
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> RWBK
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