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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 So 15.08.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Beweisen sie folgende Summenformel
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] |
Ich bin nun folgendermaßen vorgegangen:
IA: k=1 bzw. n=1
(1/2) = (1/2)
Induktionsschritt:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{n+2}
[/mm]
Dazu hätte ich nun ein paar Fragen:
Ist es richtig, dass ich auf der linken Seite immer meinen alten Term stehen lasse und n+1 hinzugefügt dazu addiere?
Wie muss ich das ganze nun umformen? Ich muss ja iwie zeigen, dass auf beiden Seiten das gleiche steht?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 So 15.08.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Beweisen sie folgende Summenformel
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> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)}[/mm] = [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm]
> Ich bin nun folgendermaßen vorgegangen:
>
> IA: k=1 bzw. n=1
>
> (1/2) = (1/2)
>
> Induktionsschritt:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} \bruch{1}{k(k+1)}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{(n+1)(n+2)}[/mm] = [mm]\bruch{n+1}{n+2}[/mm]
>
> Dazu hätte ich nun ein paar Fragen:
>
> Ist es richtig, dass ich auf der linken Seite immer meinen
> alten Term stehen lasse und n+1 hinzugefügt dazu addiere?
>
> Wie muss ich das ganze nun umformen? Ich muss ja iwie
> zeigen, dass auf beiden Seiten das gleiche steht?
>
> Vielen Dank
Den Induktionsanfang hast Du ja mit n=1 gemacht.
Die Induktionsvoraussetzung besagt, dass gilt
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}=\bruch{n}{n+1}
[/mm]
Zu zeigen ist nun das gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{k(k+1)}=\bruch{n+1}{n+2}
[/mm]
Bew.
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{k(k+1)}=\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)}
[/mm]
Hier kannst Du die Induktionsvoraussetzung verwenden und kommst somit zum Ergebnis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 So 15.08.2010 | | Autor: | zocca21 |
Dann kann ich das also wie oben stehen lassen als Beweis?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 So 15.08.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
im Prinzip ja. Du solltest die Induktionsvorausetzung jedoch klarer formulieren und in der Summe bei Deinem Induktionsschritt läuft die Summe bis n und nicht bis n+1 und der Laufindex ist k und nicht i.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 So 15.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Dann kann ich das also wie oben stehen lassen als Beweis?
Nein !
Du mußt noch zeigen:
[mm] $\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)}= \bruch{n+1}{n+2} [/mm] $
Dabei verwende die Induktionsvor.
$ [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] $
FRED
>
> Danke
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Hallo zocca21,
ein alternativer Weg, die Aussage zu beweisen, der zudem ohne Induktion auskommt und den ich sehr elegant finde, ist eine Partialbruchzerlegung:
Ansatz [mm] $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}$
[/mm]
Das liefert [mm] $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$
[/mm]
Also [mm] $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$
[/mm]
Der Laufindex muss übrigens k lauten, du hattest versehentlich i eingetippt!
Nun schreibst du dir diese Teleskopsumme entweder hin und siehst, dass [mm] $1-\frac{1}{n+1}$ [/mm] übrigbleibt oder noch eleganter ziehe die Summe auseinander, mache eine kleine Indexverschiebung und du kommst ebenfalls auf [mm] $...=1-\frac{1}{n+1}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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