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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Sa 24.04.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=x*e^{x} [/mm] und [mm] x_{0}=1
[/mm]
a) Finde eine Regelmäßigkeit in den Ableitungen und beweise diese mit der vollständigen Induktion.
b) Berechne die Taylorreihe |
Hallo^^
Ich habe die Aufgabe mal gemacht,weiß aber nicht ob die so stimmt.Kann das bitte jemand nachschauen?
a) Ich hab mal die ersten 4 Ableitungen gebildet und folgende Regelmäfigkeit gefunden: [mm] f^{n}(x)=e^{x}*(n+x).
[/mm]
Stimmt das?
Das muss ich noch mit vollständiger Induktion beweisen.
Behauptung: [mm] f^{n}(1)=e*(n+1)
[/mm]
Induktionsanfang: Ich hab einfach mal für n=2 eingesetzt und hab f''(1)=3e und das stimmt.Das heißt der Induktionsanfang gelingt schon mal.Reicht das oder muss ich noch einmal Werte einsetzen für n?
So,jetzt kommt der Induktionsschritt,d.h. ich nehme an,dass die Behauptung auch für n stimmt und muss zeigen,dass sie somit auch für n+1 stimmt.Also hab ich mal n+1 eingesetzt,d.h. [mm] f^{n+1}(1)=e*(n+2).
[/mm]
So,das hab ich da jetzt so stehen,aber ich weiß nicht was ich damit machen soll oder wie ich das beweisen soll?
Kann mir da jemand weitehelfen?
b) Ich hab mal die Taylorrehie berechnet,stimmt das so?
[mm] f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{f^{n}(1)}{n!}\cdot{}(x-1)^{n}=\bruch{e*(n+1)}{n!}*(x-1)^{n}.
[/mm]
Kann man da noch was kürzen?
Vielen Dank
lg
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Hallo,
> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=x*e^{x}[/mm] und [mm]x_{0}=1[/mm]
>
> a) Finde eine Regelmäßigkeit in den Ableitungen und
> beweise diese mit der vollständigen Induktion.
>
> b) Berechne die Taylorreihe
> a) Ich hab mal die ersten 4 Ableitungen gebildet und
> folgende Regelmäfigkeit gefunden: [mm]f^{n}(x)=e^{x}*(n+x).[/mm]
> Stimmt das?
Sieht gut aus  !
Scheibe besser:
[mm] $f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] e^{x}*(n+x)$,
[/mm]
die Ableitungsnummer in Klammern ist eine gängigere Konvention.
> Das muss ich noch mit vollständiger Induktion beweisen.
>
> Behauptung: [mm]f^{n}(1)=e*(n+1)[/mm]
>
> Induktionsanfang: Ich hab einfach mal für n=2 eingesetzt
> und hab f''(1)=3e und das stimmt.Das heißt der
> Induktionsanfang gelingt schon mal.Reicht das oder muss ich
> noch einmal Werte einsetzen für n?
Ich verstehe nicht, wieso du jetzt nur noch den Fall x = 1 betrachtest?
Davon steht nichts in der Aufgabenstellung!
Der Induktionsanfang sollte außerdem bei n = 1 beginnen:
[mm] $f^{(1)}(x) [/mm] = [mm] e^{x}*(1+x) [/mm] = [mm] e^{x}*(n+x)$,
[/mm]
deine Formel stimmt also für den Fall n = 1.
Nun kommt der Induktionsschritt. Du darfst nun annehmen, dass deine Formel für ein beliebiges, aber festes n > 1 gilt, und musst zeigen, dass die Formel auch für n+1 gilt.
Du weißt nun: [mm] $f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] e^{x}*(n+x)$
[/mm]
Was wäre wohl das einfachste, um zu überprüfen, ob deine Behauptung stimmt? --> Leite deine Formel ab! Wenn nach dem Ableiten rechts genau das gewünschte, also $ [mm] e^{x}*((n+1)+x)$ [/mm] rauskommt, bist du fertig.
> b) Ich hab mal die Taylorrehie berechnet,stimmt das so?
>
> [mm]f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{f^{n}(1)}{n!}\cdot{}(x-1)^{n}=\bruch{e*(n+1)}{n!}*(x-1)^{n}.[/mm]
Nein, das stimmt so nicht. Wieso schreibst du nur noch das n-te Glied der Taylor-Reihe auf? Eine Taylor-Reihe ist eine unendliche Summe, du kannst sie nicht weiter vereinfachen. Außerdem beginnt die Taylor-Reihe bei n = 0.
Du solltest kurz verifizieren, dass deine Ableitungsformel auch für n = 0 gilt, also für deine normale Funktion.
$T(x) = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(1)}{n!}*(x-1)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e*(n+1)}{n!}*(x-1)^{n}$.
[/mm]
Und fertig!
Grüße,
Stefan
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