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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | Seine K ein geordneter Körper, a [mm] \in [/mm] K, a>-1, [mm] n\in \IN, n\ge
[/mm]
dann gilt [mm] (1+a)^{n} [/mm] > (1+na) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Kann mir jemand bei der Lösung der Aufgabe helfen und als erstes erklären wo ich hier überhaupt ansetzen muss?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Sa 31.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Seine K ein geordneter Körper, a [mm]\in[/mm] K, a>-1, [mm]n\in \IN, n\ge[/mm]
>
> dann gilt [mm](1+a)^{n}[/mm] > (1+na)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
> Kann mir jemand bei der Lösung der Aufgabe helfen und als
> erstes erklären wo ich hier überhaupt ansetzen muss?
Multipliziere [mm] (1+a)^n [/mm] nach dem binomischen Satz aus. Die dabei entstehenden Summanden sind
[mm] 1^n+\vektor{n\\ 1}*1^{n-1}*a^1+\vektor{n\\ 2}*1^{n-2}*a^2+....
[/mm]
Bereits die ersten beiden Summanden ergeben die rechte Seite der Ungleichung; der Rest ist eine positive "Zugabe".
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Aniria |
also du meinst ich habe dann
> [mm][mm] 1^n+\vektor{n\\ 1}*1^{n-1}*a^1 [/mm] > 1+na stehen?
[mm] 1^n [/mm] ist immer 1
was mach ich jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Sa 31.10.2009 | | Autor: | abakus |
> also du meinst ich habe dann
> > [mm][mm]1^n+\vektor{n\\ 1}*1^{n-1}*a^1[/mm] > 1+na stehen?
Nein, es gilt [mm] 1^n+\vektor{n\\ 1}*1^{n-1}*a^1 [/mm] = 1+na.
Das Ausmultiplizieren mit dem binomischen Satz liefert links noch weitere positive Summanden, deshalb wird (mit mindestens einem weiteren dieser Summanden) der linke Term größer als der rechte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Aniria |
muss ich eigentlich dies nun beweisen?
ich habe es mal mir mit n=2 veranschaulicht, aber wozu brauche ich hier dann die vollständige Induktion?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 Sa 31.10.2009 | | Autor: | abakus |
> muss ich eigentlich dies nun beweisen?
> ich habe es mal mir mit n=2 veranschaulicht, aber wozu
> brauche ich hier dann die vollständige Induktion?
Hallo,
die brauchst du nicht. Es sei denn, sie wäre vom Prof oder Übungsleiter explizit als Induktionsaufgabe ausgewiesen worden.
Man kann natürlich auch den binomischen Satz induktiv beweisen, falls dieser noch nicht vorliegt.
Gruß Abakus
EDIT: Al-Chwarizmi hat natürlich recht. Ich hatte übersehen, dass a auch negativ sein darf.
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> muss ich eigentlich dies nun beweisen?
> ich habe es mal mir mit n=2 veranschaulicht, aber wozu
> brauche ich hier dann die vollständige Induktion?
siehe meine andere Mitteilung !
LG Al-Chwarizmi
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> > Seine K ein geordneter Körper, a [mm]\in[/mm] K, a>-1, [mm]n\in \IN, n\ge[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Da sollte es wohl heißen [mm] n\ge [/mm] 2
> > dann gilt [mm](1+a)^{n}[/mm] > (1+na)
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > Hallo!
> > Kann mir jemand bei der Lösung der Aufgabe helfen und
> als
> > erstes erklären wo ich hier überhaupt ansetzen muss?
>
> Multipliziere [mm](1+a)^n[/mm] nach dem binomischen Satz aus. Die
> dabei entstehenden Summanden sind
> [mm]1^n+\vektor{n\\ 1}*1^{n-1}*a^1+\vektor{n\\ 2}*1^{n-2}*a^2+....[/mm]
>
> Bereits die ersten beiden Summanden ergeben die rechte
> Seite der Ungleichung; der Rest ist eine positive
> "Zugabe".
> Gruß Abakus
Hallo abakus,
ganz so einfach ist es doch nicht. Auf der rechten Seite
können durchaus auch negative Summanden erscheinen,
denn es ist nicht a>0, sondern "nur" a>-1 vorausgesetzt !
Man braucht wohl wirklich einen Beweis mit vollständiger
Induktion.
LG Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | Also, bei dem aufgabezettel steht, dass wir es mit volltendiger Induktion lösen sollten |
ich weiß dann aber immer noch keinen ansatz, da wir bisher die vollständige Induktion über [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] eingeführt haben...((
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Sa 31.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Also, bei dem aufgabezettel steht, dass wir es mit
> volltendiger Induktion lösen sollten
> ich weiß dann aber immer noch keinen ansatz, da wir
> bisher die vollständige Induktion über [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm]
> eingeführt haben...((
Zeige:
- Die Ungleichung gilt für n=2
- Nimm an, sie gilt für n
- Weise nach: dann gilt sie für n+1.
Wir sind gespannt auf deinen Anfang.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | na dann hoffentlich habe ich jetzt in etwa es richtig gemacht... |
also:
Induktionanfach : n=2 (1+a)²> (1+2a)
ich habe dann raus a= -0,5 > a= -0,5 kann ich hier > durch=ersetzen??
Ind. Vorraussetzung: es gilt: [mm] (1+a)^{n} [/mm] > (1+na)
Ind. Schritt : es soll für n+1 gelten
[mm] (1+a)^{n+1}> [/mm] (1+an+a)
[mm] (1+a)^{n+1}= (1+a)^{n} \* (1+a)^{1}= [/mm] und hier komm ich nicht weiter
kann ich dann weiter schreiben > (1+na)??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Aniria |
> Loddar
also ich habe nun [mm] (1+a)^{n+1} [/mm] > (1+na)(1+a) = 1+na +a + a²n
das ist aber nicht 1+(n+1)a= 1+an+a
was jetzt??? kann ich dann das obere ungleichung so erweitern?
1+na+a+a²n> 1+an+a
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aniria!
> also ich habe nun [mm](1+a)^{n+1}[/mm] > (1+na)(1+a) = 1+na +a + a²n
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ist [mm] $a^2*n$ [/mm] positiv oder negativ?
Damit kannst Du doch nun weiter abschätzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Aniria |
> Hallo Aniria!
>
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> > also ich habe nun [mm](1+a)^{n+1}[/mm] > (1+na)(1+a) = 1+na +a +
> a²n
>
> Ist [mm]a^2*n[/mm] positiv oder negativ?
>
> Damit kannst Du doch nun weiter abschätzen.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
hm, aus bedingung ist [mm] n\ge [/mm] 2 und a>-1, aber da dort a² stehet ist a²n immer positiv und damit ist
1+na+a+a²n>1+(n+1)a und damit wäre ich doch fertig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aniria!
> hm, aus bedingung ist [mm]n\ge[/mm] 2 und a>-1, aber da dort a²
> stehet ist a²n immer positiv und damit ist
>
> 1+na+a+a²n>1+(n+1)a und damit wäre ich doch fertig?
Gruß
Loddar
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![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
