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| Aufgabe | Bweisen Sie die folg. Aussagen mit vollständiger Induktion:
a) für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] j * j! = (n+1)!-1 |
Hallo,
also kommt zu ersteinmal der Induktionsanfang:
IA) n=1
1*1 = (1+1)!-1
1*1 = 1*2-1 (w)
IV) für ein n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] j * j! = (n+1)!-1
IS) n -> n+1
zu zeigen: ((n+1)+1)!-1
= (n+2)!-1
nächster Schritt:
[mm] \summe_{j=1}^{n+1} [/mm] j * j!
so jetzt ziehe ich ja den letzten Summanden heraus, damit ich oben statt n+1 nur noch n habe...
= (n+1) * (n+1)! * [mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] j * j!
jetzt benutze ich meine Indukt. verankerung:
=IV=(n+1) * (n+1)! * (n+1)!-1
so und jetzt komme ich leider nicht mehr ganz weiter: in der Gruppe wurde gesagt, es wird ausgeklammert, so dass dieser Schritt zu stande kommt:
=(n+1+1)*(n+1)!-1
=(n+2)!-1
q.e.d.
aber bei dem Ausklammern kann ich den Schritt nicht nachvollziehen, weil u.a. ja auch mit Fakultäten gerechnet wird. Hoffe jemand kann das erklären.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 So 13.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nightwalker!
Lasse Dich durch die Fakultäten nicht verunsichern. Beim Ausklammern ist $(n+1)!_$ ein Faktor wie jeder andere auch.
Zudem machst Du aus einer Summe plötzlich ein Produkt. Es muss heißen:
[mm] $$\summe_{j=1}^{n+1} [/mm] j * j! \ = \ (n+1)*(n+1)! \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] j * j! \ = \ [mm] (n+1)*\blue{(n+1)!} [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] \blue{(n+1)!}-1$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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