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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:37 So 22.02.2009 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | | Beweise die Formel [mm] \bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+...+\bruch{1}{n(n+1)}=\bruch{n}{n+1} [/mm] durch vollständige Induktion. |
Hallo liebe Liebenden oder so...
das ist mir einfach zu hoch. Und stimmen tut diese Behauptung meiner Meinung nach auch nicht. Weil wenn ich für n z.b. 5 einsetze, habe ich ja schon [mm] \bruch{5}{6}.
[/mm]
Hilfe, bitte.
Silfide
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Hallo Silfide,
> Beweise die Formel
> [mm]\bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+...+\bruch{1}{n(n+1)}=\bruch{n}{n+1}[/mm]
> durch vollständige Induktion.
> Hallo liebe Liebenden oder so...
>
> das ist mir einfach zu hoch.
Es wäre hilfreich zu erfahren, ob du schon ein wenig Wissen und Ahnung über das Beweisen mit Hilfe der vollst. Induktion hast.
Der vollständigen Induktion liegen die sog. Peanoschen Axiome (Giuseppe Peano) zu Grunde.
Seine fünf Axiome definieren die Menge der natürlichen Zahlen $\ [mm] \IN [/mm] $.
Das fünfte Axiom sagt im Grunde aus, dass jede natürliche Zahl $\ n $ einen, und nur einen natürlichen Nachfolger $\ n' = n+1$ hat.
Das ist auch der Grund, weshalb wir bei der vollst. Induktion versuchen zu zeigen, dass, wenn eine Aussage für ein beliebiges $\ n [mm] \in \IN [/mm] $ gilt (was von uns Vorausgesetzt wird), es ebenso gültig ist für $\ n+1$. Dann gilt es für alle Natürlichen Zahlen $\ n [mm] \in \IN [/mm] $.
Bei Null beginnend (oder aber auch erst bei Eins - je nach Definition von $\ [mm] \IN [/mm] $) lassen sich nun alle natürlichen Zahlen erzeugen, in dem du für jedes $\ n $ dessen Nachfolger $\ n+1$ bestimmst. Wir wollen allerdings nicht alle nat. Zahlen erzeugen, denn das nimmt ja kein Ende ...  Wir sollen ja nur zeigen, dass unsere Aussage für alle $\ n [mm] \in \IN [/mm] $ gilt.
So viel zur Idee der vollst. Induktion! Ich denke, das ist ganz nützlich.
Nun zu Deinem Anliegen:
> Und stimmen tut diese
> Behauptung meiner Meinung nach auch nicht. Weil wenn ich
> für n z.b. 5 einsetze, habe ich ja schon [mm]\bruch{5}{6}.[/mm]
>
Doch, tut sie.
[mm]\bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+...+\bruch{1}{n(n+1)}=\bruch{n}{n+1}[/mm]
$\ n = 5 $
[mm]\bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+\bruch{1}{4*5}+\bruch{1}{5(5+1)}=\bruch{5}{5+1}[/mm]
[mm]\bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+\bruch{1}{4*5}+\bruch{1}{5*6}=\bruch{5}{6}[/mm]
[mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{6}+\bruch{1}{12}+\bruch{1}{20}+\bruch{1}{30}=\bruch{5}{6}[/mm]
Wir bilden den Hauptnenner mit $\ 60 $
[mm]\bruch{30}{60}+\bruch{10}{60}+\bruch{5}{60}+\bruch{3}{60}+\bruch{2}{60}=\bruch{5}{6}[/mm]
[mm]\bruch{30+10+5+3+2}{60} = \bruch{5}{6}[/mm]
[mm]\bruch{50}{60} = \bruch{5}{6}[/mm] offensichtlich Wahr (wir kürzen den linken Bruch natürlich mit 10 )
Du siehst also, für $\ n = 5 $ ist Deine Aussage gültig.
Wir beginnen das Ganze aber nun bei $\ n = 1 $ - unser Induktionsanfang - und führen dann die vollst. Induktion durch, also...
$ [mm] \bruch{1}{1\cdot{}2}+\bruch{1}{2\cdot{}3}+\bruch{1}{3\cdot{}4}+...+\bruch{1}{n(n+1)}=\bruch{n}{n+1} [/mm] $
Induktionsanfang:
$\ n = 1 $
[mm]\bruch{1}{1(1+1)}=\bruch{1}{1+1}[/mm]
[mm]\bruch{1}{1(2)}=\bruch{1}{2}[/mm] Wahr für $\ n = 1$
Es reicht, wenn wir für den Induktionsanfang nur die eins heranziehen, zumal wir es ja für die fünf ebenfalls zeigen konnten.
Wir Vermuten nun, dass die Aussage für ein beliebiges $\ n [mm] \in \IN [/mm] $ gilt.
Das ist die Induktionsannahme.
Also:
[mm]\bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+...+\bruch{1}{n(n+1)}=\bruch{n}{n+1}[/mm] Wahr für ein bel. $\ n [mm] \in \IN [/mm] $.
Der entscheidende Schritt ist nun der Induktionsschluss / Induktionsschritt von $\ n $ auf $\ n+1$
Induktionsschritt $\ n [mm] \rightarrow [/mm] n+1 $
[mm]\bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+...+\bruch{1}{n(n+1)}=\bruch{n}{n+1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wir erweitern nun die Summenkette und addieren auf beiden Seiten $\ \bruch{1}{(n+1)(n+1+1) $
[mm]\bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+...+\bruch{1}{n(n+1)}+\bruch{1}{(n+1)(n+1+1)}=\bruch{n}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)(n+1+1)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Nun ist unser letztes Glied nicht mehr $\ \bruch{1}{n(n+1)}$, sondern $\ \bruch{1}{(n+1)(n+1+1) $ (erinner dich: der nat. nachfolger von $\ n $ ist $\ n' = n+1$)
Es soll nun gezeigt werden, dass die Aussage trotz $\ n \rightarrow n+1$ ihre Ursprüngliche Form erhielt (es wird nur noch entsprechend gerechnet und gekürzt..):
[mm]\bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+...+\bruch{1}{n(n+1)}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)}=\bruch{n}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)}[/mm]
[mm]\bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+...+\bruch{1}{n(n+1)}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)}=\bruch{n(n+2)}{(n+1)(n+2)}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)}[/mm]
[mm]\bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+...+\bruch{1}{n(n+1)}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)}=\bruch{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}[/mm]
[mm]\bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+...+\bruch{1}{n(n+1)}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)}=\bruch{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)}[/mm]
[mm]\bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+...+\bruch{1}{n(n+1)}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)}=\bruch{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}[/mm]
Wir kürzen nun auf der rechten Seite:
[mm]\bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+...+\bruch{1}{n(n+1)}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)}=\bruch{n+1}{(n+2)}[/mm]
Damits auch ersichtlicher wird, werden die Brüche wie zu Beginn dargestellt:
[mm]\bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+...+\bruch{1}{n(n+1)}+\bruch{1}{(n+1)(n+1+1)}=\bruch{n+1}{(n+1)+1}[/mm]
Die Aussage hat also exakt die selbe Form wie zu Beginn, nur mit dem Unterschied, dass von $\ n $ auf $\ n +1$ "geschlussfolgert" wurde 
> Hilfe, bitte.
Ich hoffe ich konnte dir helfen! Bei Fragen, Fragen
>
> Silfide
Gruß
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 So 22.02.2009 | | Autor: | silfide |
Hallo ChopSuey,
danke erstmal für deine Hilfestellung. Probleme mit der nchvollziehung hbe ich nicht, allerdings habe ich Probleme auf solche Lösungen zu kommen. Kann man generell mit n+1 ergänzen (also bei ähnlichen Aufgaben)?
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Hallo silfide,
> Kann man generell mit n+1
> ergänzen (also bei ähnlichen Aufgaben)?
Ich verstehe die Frage nicht. Der Sinn der vollständigen Induktion, die ChopSuey hier sehr ausführlich und gut erklärt hat, ist doch, zwei Dinge zu zeigen und daraus zu folgern, dass eine Behauptung ab einem bestimmten Punkt stimmt.
1) Man zeigt für das kleinstmögliche n (meistens ist das 1), dass die Behauptung stimmt.
2) Dann zeigt man, dass sie auch für n+1 stimmt, wenn sie für n gestimmt hat.
Damit hat man dann bis in Unendliche die Gültigkeit gezeigt, eben wegen der zugrundegelegten Peanoschen Axiome.
Du "ergänzt" also nicht "mit (n+1)", sondern prüfst die Gültigkeit der Behauptung für (n+1) unter der Annahme, dass sie für n auch schon stimmt. Dazu muss man irgendwie den Fall (n+1) auf den Fall n zurückführen.
Klarer?
Grüße,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Mi 25.02.2009 | | Autor: | silfide |
Jap, alles klar. Ich brauche manches Mal ein wenig länger und ich hasse Variable...
Danke euch.
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