vollständige Induktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm]f,g: \IR \to \IR^{n}[/mm] k-mal stetig partiell differenzierbar. Zeigen Sie: Für [mm]\alpha \in \IN_{0}^{n}[/mm] mit [mm]\left| \alpha \right| \le k[/mm] und [mm]x \in \IR^{n}[/mm] gilt:
[mm] \partial^{\alpha} \left( fg \right) \left( x \right) [/mm] = [mm] \sum_{\beta \le \alpha} [/mm] [mm] {\alpha \choose \beta} \partial^{\beta}f \left( x \right) \partial^{\alpha - \beta}g \left( x \right)[/mm]
[/mm]
Dabei definieren wir für [mm]\alpha , \beta \in \IN_{0}^{n}[/mm]:
(a) [mm]\beta \le \alpha[/mm] genau dann, wenn für alle [mm]1 \le j \le n[/mm] gilt [mm]\beta_{j} \le \alpha_{j}[/mm]
[mm] (b){\alpha \choose \beta} [/mm] := [mm] \bruch{\alpha !}{(\alpha - \beta)! \beta !} [/mm] |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Mein Ansatz ist diesen Beweis über vollständige Induktion zu führen. Durch ausprobieren mit einfachen Fällen habe ich gesehen, dass das ja letzten Endes auf den binomischen Lehrsatz führt. Allerdings weiß ich nicht wie ich bei vollständiger Induktion mit diesen Multiindizies [mm]\alpha , \beta[/mm] umzugehen habe.
Muss ich beim Induktionsschritt nur die Länge des Multiindex erhöhen, oder eine einzelne Komponente oder muss ich vielleicht noch was ganz anderes machen? Ich bin mir nicht sicher.
Wäre dankbar, wenn ich da ein paar Tips bekommen könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Di 13.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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