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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 So 09.01.2005 | | Autor: | Taraftar |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich sollte ner Freundin bei ner Aufgabe helfen, die sie an der Uni gestellt bekommen hat. Nur leider bin ich bei dieser Aufgabe nicht weitergekommen, da diese Aufgabe zur vollständigen Induktion mit 2 Variablen zu berechnen ist. Ich hab schon versucht eine Variable als konstant zu bestimmen, komm aber dann nicht auf die Induktionsbehauptung. Vielleicht gehe ich ja vom falschen Ansatz aus, keine Ahnung...
Hoffentlich kann mir jemand helfen!
Also hier die Aufgabe: Die Währung eines Landes bestehe aus 3-Mark- und 5-Markstücken. Welche Beträge kann man ohne Geldrückgabe bezahlen? Beweisen Sie Ihre Behauptung!
Mein Ansatz war: [mm] s_{n,m} [/mm] = n [mm] \* [/mm] 3 + m [mm] \* [/mm] 5
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Mo 10.01.2005 | | Autor: | Taraftar |
"Aber warum wollt ihr das mit Induktion beweisen? Ich würde das mit Worten begründen. Wie viele Punkte soll es denn für die Aufgabe geben?"
Für die Aufgabe soll es 6 Punkte geben, weil genau die Schritte Induktionsanfang, Induktionsschritt mit Voraussetzung, Behauptung und Beweis und Induktionsschluss verlangt waren. Deshalb würde mir eine Lösung auf Basis des "klassischen" Induktionsschema Basis des "klassischen" Insuktionsschema sehr weiterhelfen. Für eine Begründung in Textform o.Ä. gibt es nur Teilpunkte....
Jetzt schonmal vielen Dank für die Mühe, die du dir gemacht hast oder vielleicht noch machen wirst!?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Mo 10.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
hi,
wie du an den anderen Antworten gesehen hast, kann man alle Zahlen größer als 10 derart darstellen.
das einzig schwierige daran ist der induktionsschritt von n auf (n+1)
dazu musst du dir aber nur mal überlegen, wie du die 1 als solche Summe von 5ern und 3ern darstellen kannst - dann hast du auch die Summe (n+1) dargestellt.
Schreib doch hier mal auf, ob du das allgemein hinbekommst
(die schreibweisen korrekt sind, u.ä.)
zur Not kann man dir dann noch speziell helfen.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Do 13.01.2005 | | Autor: | Taraftar |
Ich steh galub ich brutal auf dem Schlauch...
Also die 1 kann ich zum Beispiel ja so darstellen:
2*5 - 3*3 = 1
Aber ich wüßte jetzt nicht, inwiefern mich das weiterbringt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Do 20.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
hi,
sorry - sehe diese Frage jetzt erst !
dein Beispiel ist richtig, aber du brauchst auch noch : 1=2*3-1*5
gehe davon aus, dass jedes n als a5+b3 geschrieben werden kann, wobei n>=10
n muss also mindesten einen 5er enthalten oder mindestens drei 3er
dann ist doch n+1=n+2*5-3*3=(a+2)*5+(b-3)*3 (fals min. drei 3er)
oder n+1=n+2*3-1*5=(a-1)*5+(b+2)*3 (falls min. einen 5er)
damit wäre der Schritt auch erledigt.
viele grüße
DaMenge
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Betrachte die Potenzreiheen
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} x^{3k}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} x^{5k}
[/mm]
Die Exponenten Durchlaufen alle Geldbeträge, die man mit ausschließlich 3-Mark- bzw. 5-Mark-Stücken bezahlen kann. Man kann sogar noch mehr sagen. Die Exponenten - hier immer 1 oder 0 - zählen, auf wie viele Weisen man den Betrag mit nur Dreiern oder nur Fünfern bezahlnen kann.
Da sich beim Multiplizieren dieser Potenzreihen die Exponenten addierten, geben die Koeffizienten des Produkts dieser Reihen an, wie oft sich ein Betrag durch Dreier und Fünfer darstellen läßt. Die Koeffizientenfolge des Produkts beginnt mit
1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1
D.h. Darstellbar sind die Zahlen 0, 3, 5, 6, 8, 9, 10, ...
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Für die Zahelen von 0 bis 10 haben wir jatzt alles nachgeprüft.
Sei nun n [mm] \ge [/mm] 10
Wegen ggT(3,5)=1 ist 0=0*5, 5=1*5, 10=2*5 eine Repräsentantensystem von Z/3Z.
Man kann von n also ein geeignetes b-faches von 5 abziehen, so daß
n-5b [mm] \equiv [/mm] 0 mod(3)
etwa, n-5b = 3a => n = 3a+5b
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 So 09.01.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
Ich finde ja, das es mit Induktion doch auch sehr leicht geht:
Man prüfe für 8, 9, 10 nach, dass sie sich als Summe aus 3en und 5en darstellen lassen. Dann ist man ja schon fertig, denn: wenn sich n-3 darstellen lässt, dann auch n - man addiere einfach zur Summe für n eine 3.
Wa sich vielleicht durch deinen Ansatz ergeben könnte: auf wieviele Weisen sich eine Zahl als Summe darstellen lässt, präziser: Sei n darstellbar, wieviele Paare [mm](m_1,m_2)\in \IN[/mm] gibt es dann mit [mm]m_1*3+m_2*5=n[/mm]
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Mo 10.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Sollte der Status jetzt nicht grün werden?
oder ist die unfertige Bearbeitung einer Antwort daran schuld?
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