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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Sa 14.11.2015 | | Autor: | JXner |
| Aufgabe | Für alle n [mm] \in \IN [/mm] , n [mm] \ge [/mm] 2, gilt
[mm] \summe_{j=2}^{n} \bruch{2}{(2j+6)*(2j+8)}= \bruch{2n-2}{10(2n+8)} [/mm] |
Ich bräuchte Hilfestellung bei dieser Aufgabe.
Wie stelle ich den Induktionsanfang,die Induktionsvorrausssetzung und die Induktionsbehauptung auf?
Würde mich über Rückmeldung freuen.
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Hallo JXner,
> Für alle n [mm]\in \IN[/mm] , n [mm]\ge[/mm] 2, gilt
> [mm]\summe_{j=2}^{n} \bruch{2}{(2j+6)*(2j+8)}= \bruch{2n-2}{10(2n+8)}[/mm]
>
> Ich bräuchte Hilfestellung bei dieser Aufgabe.
> Wie stelle ich den Induktionsanfang,die
> Induktionsvorrausssetzung und die Induktionsbehauptung
> auf?
>
> Würde mich über Rückmeldung freuen.
Na, der Induktionsanfang ist bei [mm]\red{n=2}[/mm]
Es ist also zu zeigen, dass [mm]\sum\limits_{j=2}^{\red 2}\frac{2}{(2j+6)(2j+8)}=\frac{2\cdot{}\red 2-2}{10(2\cdot{}\red 2+8)}[/mm] gilt - rechne beide Seiten einfach aus.
Im Induktionsschritt [mm]n\to n+1[/mm] sei [mm]n\in \IN, n\ge 2[/mm] beliebig, aber fest gewählt und es gelte
[mm]\summe_{j=2}^{n} \bruch{2}{(2j+6)*(2j+8)}= \bruch{2n-2}{10(2n+8)}[/mm] (Induktionsvoraussetzung)
Zu zeigen ist nun, dass unter dieser Voraussetzung die Beh. auch für [mm]\blue{n+1}[/mm] gilt, dass also
[mm]\summe_{j=2}^{\blue{n+1}} \bruch{2}{(2j+6)*(2j+8)}= \bruch{2(\blue{n+1})-2}{10(2(\blue{n+1})+8)}[/mm] gilt.
Nimm dazu die linke Seite her und spalte die Summe in die Summe von j=2 bis j=n und den einzelnen Summanden für j=n+1 auf. Auf die Summe bis n kannst du dann die Induktionsvoraussetzung loslassen und den Rest so zusammenfassen, dass hoffentlch am Ende die zu zeigende rechte Seite mit dem n+1 dasteht ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Sa 14.11.2015 | | Autor: | JXner |
so in etwa oder liege ich weit daneben?
[mm] \summe_{i=2}^{n+1} \bruch{2}{(2j+6)(2j+8)} [/mm] + [mm] \bruch{2}{(2(n+1)+6)(2(n+1)+8)}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> so in etwa oder liege ich weit daneben?
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> [mm]\summe_{i=2}^{n+1} \bruch{2}{(2j+6)(2j+8)}[/mm] + [mm]\bruch{2}{(2(n+1)+6)(2(n+1)+8)}[/mm]
Da hast du die Indizes an der Summen durcheinandergehauen:
Du meinst es aber sicher richtig:
Korrekt aufgeschrieben meinte ich mit der Aufspaltung:
[mm]\sum\limits_{\red j=2}^{n+1}\frac{2}{(2j+6)(2j+8)} \ = \ \left(\sum\limits_{j=2}^{\blue n}\frac{2}{(2j+6)(2j+8)}\right) \ + \ \frac{2}{(2(n+1)+6)(2(n+1)+8)}[/mm]
Nun weiter ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Sa 14.11.2015 | | Autor: | JXner |
[mm] \bruch{2n - 2}{10(2n+8)} [/mm] + [mm] \bruch{2}{(2(n+1)+6)(2(n+1)+8)}
[/mm]
= [mm] \bruch{2n - 2}{20n+80} [/mm] + [mm] \bruch{2}{(2n+8)(2n+10)}
[/mm]
= [mm] \bruch{2n - 2}{20n+80} [/mm] + [mm] \bruch{2}{4n^{2}+20n+16n+80}
[/mm]
= [mm] \bruch{n - 1}{10n+40} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n^{2}+10n+8n+40}
[/mm]
und nun?
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Hallo nochmal,
> [mm]\bruch{2n - 2}{10(2n+8)}[/mm] + [mm]\bruch{2}{(2(n+1)+6)(2(n+1)+8)}[/mm]
> = [mm]\bruch{2n - 2}{20n+80}[/mm] + [mm]\bruch{2}{(2n+8)(2n+10)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber vorne bitte nicht ausmultiplizieren.
Klammere [mm] $\frac{1}{2n+8}$ [/mm] aus ...
Du musst immer im Auge behalten, worauf du hinaus willst ...
> = [mm]\bruch{2n - 2}{20n+80}[/mm] + [mm]\bruch{2}{4n^{2}+20n+16n+80}[/mm]
> = [mm]\bruch{n - 1}{10n+40}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2n^{2}+10n+8n+40}[/mm]
>
> und nun?
Nun erkennt man nix mehr ... Nicht blind ausmultiplizieren!
Gruß
schachuzipus
>
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