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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Fr 04.11.2005 | | Autor: | oplok |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
guten morgen!
Ich hab da nochmal ne Frage zur vollständigen Induktion.
Die Aufgabe lautet:
Beweise, dass 6 ein Teiler von a^2n+1 - a ist.
Ich habe die Gleichung für n=1 bewiesen.
Dann die Gleichung für n+1 aufgestellt.
Ich weiß also, dass a^2n+1 - a + ? = a^2n+3 - a ist.
wenn ich die gleichung auflöse, bekomme ich a^2n+1 [mm] (a^2 [/mm] - 1) heraus.
wie kann ich das so umstellen, dass die Gleichung bewiesen ist?
danke
oplok
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Beachte mal:
[mm] $a^{2n+3} [/mm] - a = [mm] a^{2n+1} \cdot [/mm] (a-1) [mm] \cdot [/mm] (a+1) + [mm] a^{2n+1} [/mm] - a$.
Und jetzt die Induktionsvoraussetzung anwenden...
Na? ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Fr 04.11.2005 | | Autor: | oplok |
joa...
dann muss ich aber noch beweisen, dass a^(2n+3) - a = a^(2n+1) * (a-1) * (a+1) durch 6 teilbar ist oder?
gruß
oplok
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Hallo oplok,
> joa...
> dann muss ich aber noch beweisen, dass a^(2n+3) - a =
> a^(2n+1) * (a-1) * (a+1) durch 6 teilbar ist oder?
Nein.
Aus obigem Summand folgt ja schon das dieser 6 teilt.
[mm]a^{2n + 1} \;\left( {a - 1} \right)\;\left( {a + 1} \right)\; = \;a^{2n} \;a\;\left( {a^2 \; - \;1} \right)\; = \;a^{2n} \;\left( {a^3 \; - \;a} \right)
[/mm]
Gruß
MathePower
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