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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:08 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Sandeu |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich habe drei Aufgaben, bei denen mir die Ansätze völlig fehlen, ich sehe wahrscheinlich den Wald vor Bäumen nich mehr:
1.) Beweisen Sie induktiv. Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt
[mm] \summe_{j=1}^{n} j^{3} [/mm] = ( [mm] \summe_{j=1}^{n} j)^{2}
[/mm]
2.) Zeigen Sie induktiv, ass für jedes n [mm] \in \IN [/mm] 133 ein Teiler von
[mm] 11^{n+1} [/mm] + [mm] 12^{2n-1} [/mm] ist.
3.) Zeigen Sie
[mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] = [mm] \summe_{m=k}^{n} \vektor{m \\ k} [/mm]
für alle n [mm] \ge [/mm] k.
Dabei ist [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] := [mm] \bruch{n!}{k! (n-k)!} [/mm] mit 0!=1.
Ich bin hier ehrlich am verzweifeln, bitte helft mir...
Vielen lieben Dank
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Hallo!
> Hallo, ich habe drei Aufgaben, bei denen mir die Ansätze
> völlig fehlen, ich sehe wahrscheinlich den Wald vor Bäumen
> nich mehr:
Also, wenn das Thema schon vollständige Induktion heißt, dann würde ich mal mit dem Induktionsanfang anfangen!
> 1.) Beweisen Sie induktiv. Für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt
> [mm]\summe_{j=1}^{n} j^{3}[/mm] = ( [mm]\summe_{j=1}^{n} j)^{2}[/mm]
Hier wäre das n=1.
> 2.) Zeigen Sie induktiv, ass für jedes n [mm]\in \IN[/mm] 133 ein
> Teiler von
> [mm]11^{n+1}[/mm] + [mm]12^{2n-1}[/mm] ist.
Hier wäre das ebenfalls n=1.
> 3.) Zeigen Sie
> [mm]\vektor{n+1 \\ k+1}[/mm] = [mm]\summe_{m=k}^{n} \vektor{m \\ k}[/mm]
>
> für alle n [mm]\ge[/mm] k.
>
> Dabei ist [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] := [mm]\bruch{n!}{k! (n-k)!}[/mm] mit
> 0!=1.
Na, und hier würde ich wieder mit n=1 anfangen. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:31 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sandeu!
Deine 3. Aufgabe wurde hier vor kurzem bereits gestellt und zumindest teilweise beantwortet:
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") . . . Aufgabe 3
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die 2 hatten wir hier auch schon im Forum (suche mal ein bisschen), und zur 1 gebe ich dir den Induktionsschritt:
[mm] $\left(\sum\limits_{j=1}^{n+1} j \right)^2$
[/mm]
[mm] $=\left(\sum\limits_{j=1}^n j + (n+1) \right)^2$
[/mm]
[mm] $=\left(\sum\limits_{j=1}^n j \right)^2 [/mm] + 2(n+1) [mm] \sum\limits_{j=1}^n [/mm] j + [mm] (n+1)^2$
[/mm]
[mm] $\stackrel{(IV)}{=} \sum\limits_{j=1}^n j^3 [/mm] + 2(n+1) [mm] \sum\limits_{j=1}^n [/mm] j + [mm] (n+1)^2$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{j=1}^n j^3 [/mm] + [mm] n(n+1)^2 [/mm] + [mm] (n+1)^2$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{j=1}^n j^3 [/mm] + [mm] (n+1)^3$
[/mm]
[mm] $=\sum\limits_{j=1}^{n+1} j^3$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Sandeu |
Hallo, erstmal vielen Dank für die Hilfe, ich habe die Aufgabe nun meines erachtens gelöst und konnte die Schritte auch nachvollziehen, bis auf einen:
wie kommt man von
[mm] \summe_{j=1}^{n} j^{3} [/mm] + 2(n+1) [mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] j + [mm] (n+1)^{2}
[/mm]
auf
[mm] \summe_{j=1}^{n} j^{3} [/mm] + n [mm] (n+1)^{2} [/mm] + [mm] (n+1)^{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Schnell, bevor der Server wieder abstürzt:
[mm] $\sum\limits_{i=1}^n [/mm] i = [mm] \frac{n(n+1)}{2}$.
[/mm]
Meine ursprüngliche Antwort war ausführlicher, aber ich tippe ungern alles zweimal...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Sandeu |
Stefan... du bist der Beste 
Vielen lieben Dank, du hast so eben den Knoten in meinem Kopf gelöst!!!
Danke Danke Danke
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