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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Sa 16.04.2005 | | Autor: | nas181 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
ich bin nasser aus dem ersten semester und ich hoffe dass jemand mir helfen kann und zwar:
[mm] \summe_{i=1}^{2n}-1^{k-1}/k= \summe_{i=1}^{n}1/n+k
[/mm]
sollte man bweisen nur durch Vollstädig Induktion...
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Hallo nasser,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich bin nasser aus dem ersten semester und ich hoffe dass
> jemand mir helfen kann und zwar:
> [mm]\summe_{k=1}^{2n}\bruch{\left(-1\right)^{k-1}}{k} = \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{n+k}[/mm]
>
> sollte man beweisen nur durch Vollstädig Induktion...
Hast Du den schon selber etwas dazu versucht? 
Fangen wir mal mit dem Induktionsanfang an. Sei n = 0, dann:
[m]\sum\limits_{k = 1}^{2*0} \ldots = 0 = \sum\limits_{k = 1}^0 \ldots[/m] und das ist wahr.
Unter der Annahme, daß die zu beweisende Formel wahr ist, machen wir den Induktionsschritt [m]\left( {n \to n + 1} \right)[/m]. Es gilt:
[m]\sum\limits_{k = 1}^{2\left( {n + 1} \right)} {\frac{{\left( { - 1} \right)^{k - 1} }}
{k}} = \sum\limits_{k = 1}^{2n + 2} {\frac{{\left( { - 1} \right)^{k - 1} }}
{k}} = \left( {\sum\limits_{k = 1}^{2n} {\frac{{\left( { - 1} \right)^{k - 1} }}
{k}} } \right) + \frac{{\left( { - 1} \right)^{2n} }}
{{2n + 1}} + \frac{{\left( { - 1} \right)^{2n + 1} }}
{{2n + 2}}[/m]
2n+1 ist eine ungerade Zahl, während 2n eine gerade Zahl ist. Da sich gerade und ungerade Zahlen immer abwechseln, erhalten wir hier bei der ungeraden Exponentiation -1 und bei der geraden 1:
[m]\left( {\sum\limits_{k = 1}^{2n} {\frac{{\left( { - 1} \right)^{k - 1} }}
{k}} } \right) + \frac{{\left( { - 1} \right)^{2n} }}
{{2n + 1}} + \frac{{\left( { - 1} \right)^{2n + 1} }}
{{2n + 2}} = \left( {\sum\limits_{k = 1}^{2n} {\frac{{\left( { - 1} \right)^{k - 1} }}
{k}} } \right) + \frac{1}
{{2n + 1}} + \frac{{ - 1}}
{{2n + 2}}[/m]
Jetzt wenden wir die Induktionsvorraussetzung an:
[m]\left( {\sum\limits_{k = 1}^{2n} {\frac{{\left( { - 1} \right)^{k - 1} }}
{k}} } \right) + \frac{1}
{{2n + 1}} - \frac{1}
{{2n + 2}}\mathop = \limits^{{\text{I}}{\text{.V}}{\text{.}}} \left( {\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}
{{n + k}}} } \right) + \frac{1}
{{2n + 1}} - \frac{1}
{{2n + 2}}[/m]
Tja, im Moment komme ich hier nicht weiter und habe jetzt auch keine Zeit mehr. Sorry.
Versuch' mal von der Gleichung, auf die Du hinaus willst, auszugehen.
Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Karl,
da die Summe erst bei $k \ = \ 1$ startet, würde ich den Induktionsanfang bei $n \ = \ [mm] \red{1}$ [/mm] ansetzen.
Spielt für die weitere Beweisführung aber keine größere Rolle ...
Gruß
Loddar
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