vollst. Induktion: Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Do 22.02.2007 | | Autor: | LAmamba |
| Aufgabe | [mm] f(x)=x^n
[/mm]
f'(x)=nx^(n-1) |
Ich weiß nicht genau wie ich hier mit der vollständigen Induktion die Ableitungsfunktion beweisen soll. Kann mir jeamnd weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Do 22.02.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
willst Du wirklich das über vollständige Induktion beweisen. Du kannst das doch auch direkt, in dem Du den Differenzenquotient hinschreibst, also
[mm] \br{(x+h)^n-x^n}{h} [/mm] und h gegen 0 gehen lässt.
Den Zähler kannst Du ausrechnen (Binomische Formel), man sieht dann, das [mm] x^n [/mm] wegfällt und der einzige verbleibende Summand ist [mm] n*x^{n-1}
[/mm]
Erklärung:
[mm] \br{(x+h)^n-x^n}{h}=\br{\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}x^{n-i}h^i}{h}=\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}x^{n-i}h^{i-1}
[/mm]
für h gegen 0 folgt
[mm] f'(x)=\limes_{h\rightarrow 0}\br{(x+h)^n-x^n}{h}=x^{n-1}\vektor{n \\ 1}=nx^{n-1}
[/mm]
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Do 22.02.2007 | | Autor: | LAmamba |
Ja, das habe ich auch gemacht, nur es sollte mit der vollständigen integration gemacht werden, das war die aufgabe. nur weiß ich nicht so recht wie man da anfangen soll, man muss das ja zuerst für n=0 beweisen, aber wie?
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> [mm]f(x)=x^n[/mm]
> f'(x)=nx^(n-1)
> Ich weiß nicht genau wie ich hier mit der vollständigen
> Induktion die Ableitungsfunktion beweisen soll. Kann mir
> jeamnd weiterhelfen?
Hallo,
wenn Du das wirklich mit Induktion beweisen sollst, brauchst Du zuerst einen Induktionsanfang für n=0, also für [mm] f(x)=x^0=1.
[/mm]
Entweder das wurde bereits in der Vorlesung, Übung etc. gezeigt und darf verwendet werden, oder Du mußt es über den Differentialquotienten machen - was auch kein Hexenwerk ist.
Den Induktionsschluß, die Ableitung von [mm] f(x)=x^{n+1}=x^n*x [/mm] kannst Du dann unter Brücksichtigung der Induktionsvoraussetzung mit der Produktregel angehen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Do 22.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Induktionsanfang muss mit n=1 anfangen, sonst kann man die Produktregel nicht verwenden
gruss leduart
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