vollst. Induktion - nochmals. < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Anbei alles nötige.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Danke.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Hi,
bis zu Schritt (3) ist alles ok, die Idee für Schritt (4) ist auch goldrichtig, du hast da aber die $j$ im Nenner nicht "mit ersetzt"
[mm] $\sum\limits_{j=1}^{2n+2}(-1)^{j+1}\cdot{}\frac{1}{j}=\left(\sum\limits_{j=1}^{2n}(-1)^{j+1}\cdot{}\frac{1}{j}\right)+(-1)^{\red{2n+1}+1}\cdot{}\frac{1}{\red{2n+1}}+(-1)^{\red{2n+2}+1}\cdot{}\frac{1}{\red{2n+2}}$
[/mm]
Nun kannst du - wie du richtigerweise auch schon erwähnt hast - den Klammerausdruck gem. der Induktionsvoraussetzung ersetzen durch [mm] $\sum\limits_{j=1}^n\frac{1}{n+j}$
[/mm]
Also [mm] $...=\left(\sum\limits_{j=1}^n\frac{1}{n+j}\right)+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}=\left(\sum\limits_{j=1}^n\frac{1}{n+j}\right)+\frac{1}{n+(n+1)}-\frac{1}{n+(n+2)}=...$
[/mm]
Nun musst du geschickt umformen, bis du [mm] $..=\sum\limits_{j=1}^{n+1}\frac{1}{\red{n+1}+j}$ [/mm] dastehen hast.
Du musst "alle n durch n+1" ersetzen.
Die Umformungen sind ein wenig knifflig, aber versuch's mal.
Falls es nicht klappt, frag nochmal nach
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank für deine Ausführung und dafür, dass du mich auf meinen Fehler hingewiesen hast. Ich habe deine Ausführung gleich versucht umzusetzen.
Kann es aber sein, dass du nun auch einen Fehler "eingebaut" hast?
Du schreibst:
"bis zu Schritt (3) ist alles ok, die Idee für Schritt (4) ist auch goldrichtig, du hast da aber die j im Nenner nicht "mit ersetzt"" - und dann folgt eine Gleichung:
$ [mm] \sum\limits_{j=1}^{2n+2}(-1)^{j+1}\cdot{}\frac{1}{j}=\left(\sum\limits_{j=1}^n(-1)^{j+1}\cdot{}\frac{1}{j}\right)+(-1)^{\red{2n+1}+1}\cdot{}\frac{1}{\red{2n+1}}+(-1)^{\red{2n+2}+1}\cdot{}\frac{1}{\red{2n+2}} [/mm] $
Nach dem ersten "gleich" geht bei dir die Summe nur bis n und nicht bis 2n.
Oder sehe ich das falsch?
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Jo,
gut aufgepasst !!
LG
schachuzipus
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Hi nochmal kurz,
nur damit das nicht irreführend ist:
mit "alle n durch n+1" ersetzen meine ich, dass du im eigentlichen Induktionsbeweis ja zeigen musst, dass [mm] $\sum\limits_{j=1}^{2(n+1)}(-1)^{j+1}\cdot{}\frac{1}{j}=\sum\limits_{j=1}^{n+1}\frac{1}{n+1+j}$ [/mm] ist
und nicht etwa [mm] $..=\sum\limits_{j=1}^{n+1}\frac{1}{n+j}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Okay - das ist klar. Aber nachdem ich alle n durch n + 1 ersetzt habe und die Summe nur bis 2n gehen lasse sieht das bei mir so aus:
[mm] \left( \sum_{j=1}^{2n}{\left( -1 \right)^{j+1}\cdot \frac{1}{j}} \right)\; +\; \left( -1 \right)^{2n+2}\; \cdot \; \frac{1}{2n+1}\; +\; \left( -1 \right)^{2n+3}\; \cdot \; \frac{1}{2n+2}
[/mm]
Nun ersetze ich die Summe durch den rechten Teil der Gleichung der Aufgabe:
[mm] \left( \sum_{j=1}^{n}{\frac{1}{n+j}} \right)\; +\; \left( -1 \right)^{2n+2}\; \cdot \; \frac{1}{2n+1}\; +\; \left( -1 \right)^{2n+3}\; \cdot \; \frac{1}{2n+2}
[/mm]
Und nun ist bei mir wieder Ende.
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Hello again,
ja, soweit waren wir schon 
ich mach mal nen Anfang...
Also [mm] $\left( \sum_{j=1}^{n}{\frac{1}{n+j}} \right)\; +\; \left( -1 \right)^{2n+2}\; \cdot \; \frac{1}{2n+1}\; +\; \left( -1 \right)^{2n+3}\; \cdot \; \frac{1}{2n+2}=\left( \sum_{j=1}^{n}{\frac{1}{n+j}} \right)+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2} [/mm] $
[mm] $=\left[\left( \sum_{j=1}^{n}{\frac{1}{n+j}} \right)+\frac{1}{n+(n+1)}\right]-\frac{1}{2n+2}=\left( \sum_{j=1}^{n+1}{\frac{1}{n+j}} \right)-\frac{1}{2n+2}$
[/mm]
Jetzt ist mir nix anderes eingefallen als eine Indexverschiebung...
[mm] $=\left(\sum\limits_{j=0}^n\frac{1}{n+1+j}\right)-\frac{1}{2n+2}$
[/mm]
Nun soll ja die Summe bis $n+1$ laufen, also addieren wir eine "nahrhafte Null"
[mm] $=\left(\sum\limits_{j=0}^n\frac{1}{n+1+j}\right)\red{+\frac{1}{n+1+(n+1)}-\frac{1}{n+1+(n+1)}}-\frac{1}{2n+2}$
[/mm]
Jetzt packe den ersten roten Summanden in die Summe, dann läuft die schonmal bis $n+1$
Mit den beiden anderen Summanden da versuche mal, den Index $j$ von $0$ wieder auf $1$ zu bringen....
Nun sollte es klappen
LG
schachuzipus
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Okay -danke.
Du schreibst:
"Jetzt packe den ersten roten Summanden in die Summe, dann läuft die schonmal bis n+1"
Du beziehst dich da ja auf folgende Gleichung:
$ [mm] =\left(\sum\limits_{j=0}^n\frac{1}{n+1+j}\right)\red{+\frac{1}{n+1+(n+1)}-\frac{1}{n+1+(n+1)}}-\frac{1}{2n+2} [/mm] $
Ziehe ich den ersten Summanden in die Summe geht diese bis n+1 und der erste Summand fällt weg - müsste dann so aussehen:
[mm] \left( \sum_{j=0}^{n+1}{\frac{1}{n+1+j}} \right)-\frac{1}{n+1+n+1}-\frac{1}{2n+2}
[/mm]
Nun soll ich "den Index j von 0 wieder auf 1 (...) bringen.... "
Index j von 0 auf 1 bedeutet, dass ich den Fall für j = 0 addieren muss:
[mm] \left( \sum_{j=1}^{n+1}{\frac{1}{n+1+j}} \right)-\frac{1}{n+1+n+1}-\frac{1}{2n+2}\; +\; \frac{1}{n+1+0}
[/mm]
Zusammengefasst:
[mm] \left( \sum_{j=1}^{n+1}{\frac{1}{n+1+j}} \right)-\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2n+2}\; +\; \frac{1}{n+1+0}
[/mm]
Und siehe da - es hebt sich auf.
Alles richtig?
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Yeeeeeeesssssssssssssss
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das sieht sehr gut aus !!
Es bleibt also genau das übrig, was übrig bleiben soll - puuh
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Di 30.10.2007 | | Autor: | abi2007LK |
Sowas muss man (zumindest ich mit meinem beschränktem Hirn) recht oft üben, bis das richtig sitzt... ich sehe stundenlanges Üben vor mir... uha.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Do 01.11.2007 | | Autor: | Marvster |
ich muss gerade ganau die gleiche aufg lösen versteh jedoch ab der indexverschiebung nur noch bahnhof
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