vollst. Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 So 25.11.2012 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | x [mm] \in \IZ [/mm] und k [mm] \in \IN [/mm] seien beliebige.
Für des Rest des Aufgabenteils feste Zahlen.
Es gilt zu zeigen, dass für alle n [mm] \in \IN0 [/mm] gilt :
[mm] (x^{k} [/mm] - 1) * [mm] \summe_{i=0}^{n} x^{i*k} [/mm] = [mm] x^{k*(n+1)} [/mm] -1 |
Hallo,
Ich beschäftige mich grad wieder etwas mit Induktionen und brauche etwas hilfe.
Ich habe mit dem Induktionsanfang begonnen, indem ich ich behaupte das die Aussage für n=0 stimmt.
[mm] (x^{k} [/mm] - 1) * [mm] \summe_{i=0}^{0} x^{0*k} [/mm] = [mm] x^{k*(0+1)} [/mm] -1
[mm] x^{k} [/mm] -1 *1 = [mm] x^{k} [/mm] -1 stimmt also
Dann sage ich in der
Induktionsvorraussetzung :
Für ein festes oder beliebiges n [mm] \in \IN [/mm] gilt ( ist das korrekt so formuliert ? )
[mm] (x^{k} [/mm] - 1) * [mm] \summe_{i=0}^{n} x^{i*k} [/mm] = [mm] x^{k*(n+1)} [/mm] -1
Probleme gibt es wie bereits erwartet im wichtigen Induktionsschritt.
Ich nehme an das die Aussage auch für n+1 wahr ist und setze ein.
[mm] (x^{k} [/mm] - 1) * [mm] \summe_{i=0}^{n+1} x^{i*k} [/mm] = [mm] x^{k*(n+2)} [/mm] -1
Doch wie es weitergeht weis ich nicht mehr.
Mag mir wer helfen ?
lg
Micha
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Hallo Micha,
> x [mm]\in \IZ[/mm] und k [mm]\in \IN[/mm] seien beliebige.
> Für des Rest des Aufgabenteils feste Zahlen.
> Es gilt zu zeigen, dass für alle n [mm]\in \IN0[/mm] gilt :
> [mm](x^{k}[/mm] - 1) * [mm]\summe_{i=0}^{n} x^{i*k}[/mm] = [mm]x^{k*(n+1)}[/mm] -1
> Hallo,
> Ich beschäftige mich grad wieder etwas mit Induktionen
> und brauche etwas hilfe.
> Ich habe mit dem Induktionsanfang begonnen, indem ich ich
> behaupte das die Aussage für n=0 stimmt.
Jo
> [mm](x^{k}[/mm] - 1) * [mm]\summe_{i=0}^{0} x^{\red{0}*k}[/mm] = [mm]x^{k*(0+1)}[/mm] -1
Kleiner Fehler, da muss [mm]x^{\red ik}[/mm] stehen in der Summe
>
> [mm]\red (x^{k}[/mm] -1) *1 = [mm]x^{k}[/mm] -1 stimmt also
> Dann sage ich in der
> Induktionsvorraussetzung :
> Für ein festes oder beliebiges n [mm]\in \IN[/mm] gilt ( ist das
> korrekt so formuliert ? )
Für ein beliebig gewähltes und dann festes [mm]n\in\IN[/mm] gelte:
> [mm](x^{k}[/mm] - 1) * [mm]\summe_{i=0}^{n} x^{i*k}[/mm] = [mm]x^{k*(n+1)}[/mm] -1
>
> Probleme gibt es wie bereits erwartet im wichtigen
> Induktionsschritt.
> Ich nehme an das die Aussage auch für n+1 wahr ist und
> setze ein.
> [mm](x^{k}[/mm] - 1) * [mm]\summe_{i=0}^{n+1} x^{i*k}[/mm] = [mm]x^{k*(n+2)}[/mm] -1
>
> Doch wie es weitergeht weis ich nicht mehr.
> Mag mir wer helfen ?
Ok, das ist zu zeigen.
Nimm dir die linke Seite her, forme so um, dass du die Induktionsvoraussetzung benutzen kannst und fasse dann zusammen, bis die rechte Seite am Ende dasteht.
Du musst also die Summe "geschickt" umformen, beachte:
[mm]\sum\limits_{i=0}^{n+1}x^{ik}=\left( \ \sum\limits_{i=0}^nx^{ik} \ \right)+x^{(n+1)k}[/mm]
Den Rest bekommst du sicher hin ...
>
> lg
> Micha
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 So 25.11.2012 | | Autor: | Coup |
Danke für die rasche Antwort :)
[mm] (x^{k}-1) [/mm] * ( [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] ) + [mm] x^{(n+1)k}
[/mm]
Kann ich hier schon die IV einsetzen ?
Also : [mm] (x^{k } [/mm] -1 ) * [mm] x^{k(n+1)}-1 [/mm] + [mm] x^{(n+1)k}
[/mm]
Hier weis ich allerdings nicht wie ich es weiter auseinanderziehen und dann zusammenfassen könnte
Vielen Dank nochmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:15 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die rasche Antwort :)
>
> [mm](x^{k}-1)[/mm] * ( [mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm] ) + [mm]x^{(n+1)k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Du meinst anstatt $\sum_{i=0}^n$ natürlich $\sum_{i=0}^n \red{x^{ik}\,,$ außerdem
$$(x^k-1)*\sum_{i=0}^{n+1} x^{ik}=(x^k-1)*\left(\Big(\sum_{i=0}^n x^{ik}\Big)\;\;+x^{(n+1)*k}\right)$$
>
> Kann ich hier schon die IV einsetzen ?
Ja!
> Also : [mm](x^{k }[/mm] -1 ) * [mm]x^{k(n+1)}-1[/mm] + [mm]x^{(n+1)k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das habe ich auch:
$$...=\blue{(x^{k }-1 )*\big(\sum_{i=0}^n x^{ik}\big)}+(x^{k }-1 )*x^{(n+1)*k}\stackrel{\blue{I.V.}}{=}\blue{x^{k(n+1)}-1}+(x^{k }-1 )*x^{(n+1)*k}$$
> Hier weis ich allerdings nicht wie ich es weiter
> auseinanderziehen und dann zusammenfassen könnte
Na, was wäre denn noch zu zeigen? Es wäre zu zeigen, dass die Gleichheit
$$x^{k(n+1)}-1}+(x^{k }-1 )*x^{(n+1)*k}\stackrel{!}{=}x^{k(n+2)}-1$$
gilt. (Das Ausrufezeichen soll andeuten: Diese Gleichheit SOLL gezeigt
werden/gelten!)
Du kannst das nun durch Äquivalenzumformungen lösen, oder Du
multiplizierst mal die linke Seite aus und fasst zusammen, bis die rechte
raus kommt: Das geht hier eigentlich sehr schnell, denn es ist doch
$$x^k*x^{(n+1)*k}=x^{kn+k+k}=x^{kn+2k}=x^{k(n+2)}\,.$$
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:13 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Coup |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi Marcel.
Vielen Dank dafür :).
Doch sehe ich grade nicht wie du von :
$ x^{k(n+1)}-1}+(x^{k }-1 )\cdot{}x^{(n+1)\cdot{}k}\stackrel{!}{=}x^{k(n+2)}-1 $
auf
$ x^k\cdot{}x^{(n+1)\cdot{}k}=x^{kn+k+k}=x^{kn+2k}=x^{k(n+2)}\,. $
gekommen bist. Also das x^{k} allein.
Ich habe es so versucht :
x^{(n+1)*k} -1 + (x^{k}-1) * x^{(n+1)*k}
Dann habe ich ausmultipliziert
x^{kn+k} -1 + (x^{k}-1) * x^{kn+k})
=
x^{kn+k} -1 + x^{kn+2k} - x^{kn+k}
Ist das richtig ausmultipliziert ?Also der Teil : x^{k} *x^{kn+k}
Dann kann ich ja x^{kn+k} eleminieren und es bleibt
x^{kn+2k} -1 = x^{k(n+2) }-1
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi Marcel.
> Vielen Dank dafür :).
>
> Doch sehe ich grade nicht wie du von :
> [mm]x^{k(n+1)}-1}+(x^{k }-1 )\cdot{}x^{(n+1)\cdot{}k}\stackrel{!}{=}x^{k(n+2)}-1[/mm]
>
> auf
>
> [mm]x^k\cdot{}x^{(n+1)\cdot{}k}=x^{kn+k+k}=x^{kn+2k}=x^{k(n+2)}\,.[/mm]
>
> gekommen bist. Also das [mm]x^{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
allein.
bin ich ja auch nicht: Ich habe von dem Ausdruck
$$x^{k(n+1)}-1}+(\red{x^{k }}-1 )\red{\cdot{}x^{(n+1)\cdot{}k}}$$
nur das rotmarkierte berechnet - denn ich dachte, dass Du selbst siehst,
dass bei dem Rest $x^{k(n+1)}-1-x^{(n+1)k}=-1\,$ übrig bleibt.
> Ich habe es so versucht :
>
> [mm]x^{(n+1)*k}[/mm] -1 + [mm](x^{k}-1)[/mm] * [mm]x^{(n+1)*k}[/mm]
> Dann habe ich ausmultipliziert
>
> [mm]x^{kn+k}[/mm] -1 + [mm](x^{k}-1)[/mm] * [mm]x^{kn+k})[/mm]
> =
> [mm]x^{kn+k}[/mm] -1 + [mm]x^{kn+2k}[/mm] - [mm]x^{kn+k}[/mm]
> Ist das richtig ausmultipliziert ?Also der Teil : [mm]x^{k} *x^{kn+k}[/mm]
Ja: Da benutzt Du doch einfach nur [mm] $a^r*a^s=a^{r+s}$ [/mm] und [mm] $k+k=2k\,.$
[/mm]
Nebenbei: Eigentlich fragst Du mich hier, ob [mm] $x^k*x^{(n+1)*k}=x^{(n+2)*k}$ [/mm] gilt - also eigentlich wiederholst Du
die erste Frage von oben nochmal. Warum? Nun, hier hast Du doch nur
$(n+1)*k$ zu $nk+k$ umgeschrieben. 
> Dann kann ich ja [mm]x^{kn+k}[/mm] eleminieren
Siehste: Ich meinte, dass Du sowas selbst siehst.
> und es bleibt
> [mm]x^{kn+2k}[/mm] -1 = [mm]x^{k(n+2) }-1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Damit bist Du fertig.
Wie gesagt:
$$x^{k(n+1)}-1}+(\red{x^{k }}-1 )\red{\cdot{}x^{(n+1)\cdot{}k}}=x^{k(n+2)}$$
habe ich nie behauptet, sondern ich wollte Dich nur drauf hinweisen, dass
Du Dir im Wesentlichen eigentlich nur noch klarmachen sollst, dass Du
eigentlich nur noch
$$\red{x^{k }}\red{\cdot{}x^{(n+1)\cdot{}k}}=x^{k(n+2)}$$
zu benutzen brauchst. Diese Gleichheit stimmt so, wie sie da steht, ja
auch, und anderes habe ich auch nicht behauptet. (Lies' es meinetwegen
nochmal durch.)
Und Du hast Deinen Beweis nun auch fertig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:31 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Coup |
puh !
Ich merke schon wieder das es grad in Mathe wichtig ist sich Nächtelang damit zu beschäftigen.
Ich danke dir !
Gute Nacht :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:34 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> puh !
> Ich merke schon wieder das es grad in Mathe wichtig ist
> sich Nächtelang damit zu beschäftigen.
nutze lieber die Stunden am Tag, solange man "geistig fit" ist, und denke
auch dran, Pausen zu machen. Manchmal "rattert das Gehirn auch gut im
Unterbewusten mit" und das ist manchmal besser, als nur eine Aufgabe
stundenlang verzweifelt anzuschauen oder wegen Verwirrtheit Unfug
hinzuschreiben, weil man nicht mehr konzentriert ist.
Aber wie gesagt: Die Aufgabe hier hast Du ja nun gut gelöst.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:35 Mo 26.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Micha (wenn ich mich recht erinnere...),
> puh !
> Ich merke schon wieder das es grad in Mathe wichtig ist
> sich Nächtelang damit zu beschäftigen.
Es scheint auch Leute zu geben, die das tagsüber tun, aber ich weiß nur vom Hörensagen, dass es sie geben soll.
lg
reverend
> Ich danke dir !
> Gute Nacht :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:06 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Coup |
Die Nacht ist nicht nur die Nacht sondern symbolisiert stillstand und Ruhe für mich. Es ist unklar ob Sommer oder Winter .
Also ich mag die Nacht und bis zu einem bestimmten Grad kann man noch einigermaßen gut denken. Aber nun ist eben Schluss und es geht morgen oder übermorgen weiter.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> x [mm]\in \IZ[/mm] und k [mm]\in \IN[/mm] seien beliebige.
> Für des Rest des Aufgabenteils feste Zahlen.
> Es gilt zu zeigen, dass für alle n [mm]\in \IN0[/mm] gilt :
> [mm](x^{k}[/mm] - 1) * [mm]\summe_{i=0}^{n} x^{i*k}[/mm] = [mm]x^{k*(n+1)}[/mm] -1
ist da vollst. Induktion verlangt? Die braucht man nämlich nicht:
[mm] $$(x^k-1)\sum_{m=0}^n x^{m*k}=\sum_{m=0}^n x^{(m+1)*k}-\sum_{m=0}^n x^{m*k}=\sum_{m=1}^{n+1}x^{m*k}-\sum_{m=0}^n x^{m*k}=x^{(n+1)*k}-x^0=x^{(n+1)*k}-1\,.$$
[/mm]
Nebenbei: $x [mm] \in \IZ$ [/mm] kann man durch $x [mm] \in \IC$ [/mm] ersetzen. Auch $k [mm] \in \IN_0$
[/mm]
ist wenig allgemein...
Gruß,
Marcel
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