vollst. Induktion. Bin.Koeff. < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, ich muss folgendes zeigen:
a) [mm] \summe_{k=2}^{n} \vektor{k \\ 2}= \vektor{n+1 \\ 3}
[/mm]
IA: n=2 [mm] \summe_{k=2}^{2} \vektor{2 \\ 2}= \vektor{2+1 \\ 3} [/mm] Also der IA anfang stimmt.
IS: [mm] \summe_{k=2}^{n+1} \vektor{k \\ 2}= \vektor{n+2 \\ 3}
[/mm]
= [mm] \vektor{n+1 \\ 3}+ \vektor{n+1 \\ 2}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+1)!}{3!(n-2)!}+\bruch{(n+1)!}{2!(n-1)!} [/mm] Das habe ich jetzt versucht auf den gleichen Nenner zu bringen:
[mm] \bruch{2!(n-1)!(n+1)!+3!(n-2)!(n+1)!}{3!(n-2)!2!(n-1)!} [/mm] Ab hier komme ich nicht weiter.
b) [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{2n \\ 2k}=2^{2n-1}
[/mm]
IA: n=0 [mm] \summe_{k=0}^{0} \vektor{2*0 \\ 2*0}=2^{2*0-1}
[/mm]
Hier stimmt der IA schon nicht. Also kann die Gleichung nicht stimmen. Aber ich bin mir unsicher da in der Aufgabenstellung steht zeigen sie und nichts mit widerlegen. Mach ich hier was falsch??
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
>$ [mm] \bruch{(n+1)!}{3!(n-2)!}+\bruch{(n+1)!}{2!(n-1)!} [/mm] $ Das habe ich jetzt versucht auf den gleichen Nenner zu bringen:
$3!=3*2!~$
$(n-1)! = (n-1)*(n-2)!~$
Dann sieht das ganze gleich viel netter aus.
> Hier stimmt der IA schon nicht.
IA ist n=1.
[mm] $n\in\IN$ [/mm] und [mm] $\IN=1,2,3,\ldots$
[/mm]
wurde entweder irgendwo explizit geschrieben oder ist impliziert.
Oder Ihr habt [mm] $\IN=0,1,2,\ldots$ [/mm] definiert und Du schreibst einfach hin, daß die Aufgabe falsch ist. Aber selbst unter Mathematikern machst Du Dir mit solcher Klugscheißerei nicht viele Freunde. =)
ciao
Stefan
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Hallo, danke. Die erste Induktion habe ich jetzt. Bei der zweiten Induktion stimmt der IA doch für n=1 oder n=2 auch nicht. Also müsste die Gleichung doch falsch sein oder??
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{2n \\ 2k}=2^{2n-1} [/mm] $
n=1,
[mm] $\sum_{k=0}^1 {2\choose 2k}= {2\choose 0} [/mm] + [mm] {2\choose 2} [/mm] = [mm] 1+1=2=2^{2-1}$
[/mm]
ciao
Stefan
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Ohh, da hab ich mich verrechnet.
Also ich habe jetzt versucht den IS zu machen:
n-> n+1
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} \vektor{2(n+1) \\ 2k}= 2^{(2*(n+1)-1)}
[/mm]
= [mm] \vektor{2n \\ 2k} [/mm] * [mm] \vektor{2n \\ 2(n+1)} [/mm] Jetzt die IV
= [mm] 2^{(2n-1)}*\vektor{2n \\ 2(n+1)} [/mm]
[mm] =2^{(2n-1)}*\vektor{2n \\ 2n+2} [/mm]
[mm] 2^{(2n-1)}* \bruch{2n!}{(2n+2)!2}
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht wie ich das weiter umformen soll, um 2^(2*(n+1)-1) zu erhalten.
Gruß
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Hallo Schmetterling,
ich kann Dir leider nicht ganz folgen.
> Also ich habe jetzt versucht den IS zu machen:
> n-> n+1
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} \vektor{2(n+1) \\
2k}= 2^{(2*(n+1)-1)}[/mm]
mit i=k, nehme ich an. 
> = [mm]\vektor{2n \\
2k}[/mm] * [mm]\vektor{2n \\
2(n+1)}[/mm]
Äh, wie das? Fehlt da nicht noch die Summe? Und woher kommt die Multiplikation? Welche Identität willst Du da anwenden?
Ein wesentliches Problem ist, dass es nach der klassischen Definition der Binomialkoeffizienten den rechten doch gar nicht geben kann.
> Jetzt die IV
> = [mm]2^{(2n-1)}*\vektor{2n \\
2(n+1)}[/mm]
> [mm]=2^{(2n-1)}*\vektor{2n \\
2n+2}[/mm]
> [mm]2^{(2n-1)}* \bruch{2n!}{(2n+2)!2}[/mm]
> Jetzt weiß ich nicht
> wie ich das weiter umformen soll, um 2^(2*(n+1)-1) zu
> erhalten.
Das geht auch nicht. Der Wurm steckt schon viel früher drin.
Rechne mal lieber in kleineren Einzelschritten vor. Viele Rechenabkürzungen erweisen sich als warphole ins falsche Universum.
Grüße
reverend
>
> Gruß
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Hallo, danke.
Ok, ich geh es jetzt mal langsam an.
Mit den Indizes habe ich mich nur vertippt.
Also
IS.: n-> n+1
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \vektor{2(n+1) \\ 2k}= 2^{2*(n+1)-1}
[/mm]
So jetzt würde ich ja das n+1 te Element abspalten, aber
[mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{2n \\ 2k} [/mm] + [mm] \vektor{2n \\ 2(n+1)} [/mm] ist ja wie du sagt nicht logisch, da k größer als n ist. Müsste das dann so lauten
[mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{2n \\ 2k} [/mm] + [mm] \vektor{2(n+1) \\ 2(n+1)}, [/mm] der letzt Ausdruck würde ja 1 ergeben, damit könnte ich doch gar nicht weiter umformen.
Gruß
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Hallo Schmetterling,
> Hallo, danke.
> Ok, ich geh es jetzt mal langsam an.
> Mit den Indizes habe ich mich nur vertippt.
> Also
> IS.: n-> n+1
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \vektor{2(n+1) \\
2k}= 2^{2*(n+1)-1}[/mm]
>
> So jetzt würde ich ja das n+1 te Element abspalten, aber
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \vektor{2n \\
2k}[/mm] + [mm]\vektor{2n \\
2(n+1)}[/mm]
> ist ja wie du sagt nicht logisch, da k größer als n ist.
Das stimmt auch nicht.
Wenn du das letzte Element, also das für [mm]k=n+1[/mm], extra schreibst, so sieht das so aus: (die Ausdrücke mit n bleiben doch unverändert!)
[mm]\sum\limits_{k=1}^{n+1}\vektor{2(n+1)\\
2k} \ = \ \left[ \ \sum\limits_{k=1}^{n}\vektor{2(n+1)\\
2k} \ \right] \ + \ \vektor{2(n+1)\\
2(n+1)}[/mm]
> Müsste das dann so lauten
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \vektor{2n \\
2k}[/mm] + [mm]\vektor{2(n+1) \\
2(n+1)},[/mm]
Die Summe ist falsch, der abgespaltete Summand stimmt und ist in der Tat [mm]=1[/mm]
> der letzt Ausdruck würde ja 1 ergeben, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") damit könnte ich
> doch gar nicht weiter umformen.
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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