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Hi,
ich habe hier ein Integral, das bitte mal jemand für mich lösen soll. Anscheinend gibt es für dieses nur einen Lösungsweg, was ich sehr schade finde. Aber rechnet es erst mal durch, die Lösung gebe ich euch dann später.
2*Pi* [mm] \integral_a^b{ \bruch{4x}{x+1}dx}
[/mm]
a=0
b=10
(Anmerkung: der Formeleditor nahm meine obere Intervallgrenze 10 nicht an! deshalb mit a und b)
Viel Spaß,
euer Andi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Di 27.04.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo DerMathematiker
soll das jetzt eine Testaufgabe für uns sein, weil du die Lösung schon kennst, oder willst du einfach mal wissen, was denn wir für einen Lösungsweg einschlagen?
Also, ich versuch mich mal an der Aufgabe:
zunächst werde ich die 4 vor das Integral ziehen und dann den Bruch ein wenig umformen, damit das Zählerpolynom einen kleineren Grad erhält als das Nennerpolynom. Dies erreiche ich durch "Ausdividieren des Bruches".
[mm]2 \pi \integral_{0}^{10}{ \bruch{4x}{x+1}dx}=
8 \pi \integral_{0}^{10}{ \bruch{x}{x+1}dx}=
8 \pi \integral_{0}^{10}({ 1 - \bruch{1}{x+1})dx}[/mm]
und dies ist jetzt nicht mehr schwierig.
Man muss natürlich achtgeben, dass die Integrationsgrenzen nicht einen "nichtdefinierten Bereich" überstreichen. (Die Funktion wäre bei [mm]x=-1[/mm] ja nicht definiert. Dort hätte man dann noch weitere Analysen durchführen müssen (eigentlich, uneigentlich))
Ich erhalte für das unbestimmte Integral den folgenden Ausdruck (Stammfunktion):
[mm]8 \pi (x-ln{(x+1)) + Const.[/mm]
Dabei durfte ich die Absolutstriche im Logarithmus weglassen, weil (x+1) innerhalb der Integrationsgrenzen überall grösser 0 ist.
Für das bestimmte Integral erhalte ich das Resultat:
[mm]8 \pi (10 - ln(11))[/mm] 
gibst du uns deine Lösung nun auch noch bekannt?
Und noch eine Anmerkung: statt des Ausdividierens des Polynoms hätte man auch die Substitution [mm]x:=u-1[/mm] vornehmen können. Dann wäre die Rechnung auch einfach geworden! Dies nur um zu zeigen, dass es oft nicht nur einen Lösungsweg gibt, wie du oben behauptet hast! 
Möglicherweise hätte man auch etwas mit partieller Integration hingekriegt!
Das habe ich aber nicht ausprobiert.
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Hallo,
danke für das lösen. Wie funktioniert das aber mit dem ausdividieren? Also wie kommt man von x/(x+1) auf 1- 1/(x+1)???
Danke für deine Lösung.
MfG Andi
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Hi,
also eine Möglichkeit habe ich gerade herausbekommen durch Polynomdivision.
wenn ihr noch weitere wisst, dann bitte posten.
MfG Andi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 Mo 03.05.2004 | | Autor: | Emily |
durch Polynomdivision:
x:(x+1) = 1 -1/(x+1)
- (x+1)
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-1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Mo 03.05.2004 | | Autor: | Emily |
Andere Lösung:
Substitution: t = x + 1 f(t) = (t - 1)/t = 1 -1/t
x = t - 1 F(t) = t -ln|t| +c
dx = dt
Grenzen verändern mit t(a) = a+1 usw.
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