vertauschung Limes/Different. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Prop.:
Es sei [mm] f_n [/mm] : [a,b] -> [mm] \IR [/mm] stetig differenzierbar. Die folge [mm] (f_n) [/mm] sei punktweise konvergent gegen f:[a,b]-> [mm] \IR [/mm] und die Folge der ABleitungen [mm] (f_n [/mm] ') sei gleichmäßig konvergent. Dann ist f differenzierbar und es gilt
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a,b] : f'(x)= [mm] lim_{n->\infty} [/mm] f'_n(x)
Prop.:
Sei [mm] f_n \in [/mm] C([a,b]) [mm] \cap [/mm] D((a,b)) und [mm] f_n [/mm] ' [mm] \in [/mm] C([a,b])
und [mm] f_n [/mm] -> f [mm] (n->\infty) [/mm] gleichmäßig
[mm] f_n' [/mm] -> g [mm] (n->\infty) [/mm] gleichmäßig
Dann ist f [mm] \in [/mm] D([a,b]) und es gilt f' = g |
Ich hab zweimal dieselbe Analysisvorlesung genossen bei 2 verschiedenen Lehrern. Ist die zweite Proposition eine abgeschwächste version von der Proposition 1? Da da plötzlich verlangt wird, dass [mm] (f_n) [/mm] glm konvergent statt nur punktweise konvergent gegen f ist??
Oder irre ich mich?
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Hallo,
> Prop.:
> Es sei [mm]f_n[/mm] : [a,b] -> [mm]\IR[/mm] stetig differenzierbar. Die
> folge [mm](f_n)[/mm] sei punktweise konvergent gegen f:[a,b]-> [mm]\IR[/mm]
> und die Folge der ABleitungen [mm](f_n[/mm] ') sei gleichmäßig
> konvergent. Dann ist f differenzierbar und es gilt
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [a,b] : f'(x)= [mm]lim_{n->\infty}[/mm] f'_n(x)
> Prop.:
> Sei [mm]f_n \in[/mm] C([a,b]) [mm]\cap[/mm] D((a,b)) und [mm]f_n[/mm] ' [mm]\in[/mm] C([a,b])
> und [mm]f_n[/mm] -> f [mm](n->\infty)[/mm] gleichmäßig
> [mm]f_n'[/mm] -> g [mm](n->\infty)[/mm] gleichmäßig
> Dann ist f [mm]\in[/mm] D([a,b]) und es gilt f' = g
Proposition 1 ist die allgemeinere der beiden. Man braucht die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge [mm] $(f_n)$ [/mm] nicht. Das allgemeinste Resultat lautet:
a) [mm] $f_n$ [/mm] alle differenzierbar (man braucht NICHT stetig differenzierbar)
b) [mm] $(f_n')$ [/mm] gleichmäßig konvergent gegen g
c) [mm] $(f_n)$ [/mm] ist in EINEM PUNKT punktweise konvergent.
------> [mm] $(f_n)$ [/mm] konv. gleichmäßig gegen eine differenzierbare Grenzfunktion f mit f' = g.
Aus: ![[]](/images/popup.gif) S. 271
Viele Grüße,
Stefan
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