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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Do 30.06.2011 | | Autor: | Sin777 |
Hallo, wir hatten in der Vorlesung Stetigkeit und ich verstehe nicht, warum manche Funktionen unstetig sind. Mal ein Beispiel (gerne auch ein anderes)
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für x} \le 3 \\ x^2, & \mbox{für x > 3} \end{cases}
[/mm]
Die Funktion ist vermutlich unstetig bei 3. Nun habe ich aber ein Problem. Laut Definition der Stetigkeit gilt doch Stetigkeit, wenn das hier gilt:
[mm] x_{n} \to x_{0} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n}) [/mm] ex. und dieser ist [mm] f(x_{0})
[/mm]
Wenn ich das nun anwende, dann ist die funktion bei mir aber stetig...
Sei x [mm] \le [/mm] 3:
[mm] x_{n} \to x_{0} \Rightarrow f(x_{n})=x_{n} \to x_{0} [/mm] = [mm] f(x_{0})
[/mm]
Sei x > 3:
[mm] x_{n} \to x_{0} \Rightarrow f(x_{n})=x_{n}^2 \to x_{0}^2 [/mm] = [mm] f(x_{0})
[/mm]
Wo ist mein Denkfehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Do 30.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, wir hatten in der Vorlesung Stetigkeit und ich
> verstehe nicht, warum manche Funktionen unstetig sind. Mal
> ein Beispiel (gerne auch ein anderes)
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für x} \le 3 \\ x^2, & \mbox{für x > 3} \end{cases}[/mm]
>
> Die Funktion ist vermutlich unstetig bei 3. Nun habe ich
> aber ein Problem. Laut Definition der Stetigkeit gilt doch
> Stetigkeit, wenn das hier gilt:
>
> [mm]x_{n} \to x_{0} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})[/mm]
> ex. und dieser ist [mm]f(x_{0})[/mm]
>
> Wenn ich das nun anwende, dann ist die funktion bei mir
> aber stetig...
>
> Sei x [mm]\le[/mm] 3:
> [mm]x_{n} \to x_{0} \Rightarrow f(x_{n})=x_{n} \to x_{0}[/mm] =
> [mm]f(x_{0})[/mm]
>
> Sei x > 3:
> [mm]x_{n} \to x_{0} \Rightarrow f(x_{n})=x_{n}^2 \to x_{0}^2[/mm] =
> [mm]f(x_{0})[/mm]
Nimm mal die Folge [mm] $x_n=3+1/n$ [/mm] : Dann: [mm] x_n \to x_0=3
[/mm]
Aber : [mm] f(x_n)=(3+1/n)^2 \to [/mm] 9 [mm] \ne [/mm] 3 [mm] =f(x_0)=f(3)$
[/mm]
FRED
>
> Wo ist mein Denkfehler?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Do 30.06.2011 | | Autor: | Sin777 |
Was ist an meiner Folgerung falsch und woher weißt du, dass du [mm] x_{n} [/mm] in die [mm] x^2 [/mm] funktion einsetzen musst und nicht in die x funktion.
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Hallo Sin777,
> Was ist an meiner Folgerung falsch
Im ersten Fall [mm]x\le 3[/mm] muss für die Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] gelten, dass [mm]x_n\le 3[/mm] ist für alle [mm]n[/mm]im anderen [mm] $x_n<3$ [/mm] für alle $n$
Du bekommst, dass im ersten Falle die Folge [mm] $f(x_n)$ [/mm] gegen [mm] $f(x_0)=3$ [/mm] strebt, im zweiten Falle aber [mm] $f(x_n)$ [/mm] gegen [mm] $(f(x_0))^2=9$ [/mm] strebt.
Das kann also nicht stetig sein in [mm] $x_0=3$
[/mm]
> und woher weißt du,
> dass du [mm]x_{n}[/mm] in die [mm]x^2[/mm] funktion einsetzen musst und nicht
> in die x funktion.
Na, die Folge hat Fred doch definiert als [mm]\left(1+1/n)_{n\in\IN}[/mm], also [mm]x_n>3[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm], damit greift dort das Quadrat.
Mit dieser Beispielfolge ist die Stetigkeit an der Stelle [mm]x_0=3[/mm] also widerlegt --> siehe Begr. bei Fred
Stetigkeit kannst du durch Angabe eines Gegenbsps. widerlegen. Das hat Freg getan.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Do 30.06.2011 | | Autor: | Sin777 |
Ok, vielen Dank. Und wie zeigt man formal, dass f(x) im restlichen Definitionsbereich stetig ist? Braucht man dazu das epsilon delta kriterium?
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Hallo nochmal,
> Ok, vielen Dank. Und wie zeigt man formal, dass f(x) im
> restlichen Definitionsbereich stetig ist? Braucht man dazu
> das epsilon delta kriterium?
Jo, das kannst du machen, aber in der VL wird doch gezeigt, dass Polynome stetig sind.
Hier ist allein die "Nahtstelle" [mm] $x_0=3$ [/mm] kritisch.
Du kannst je die Stetigkeit auf [mm] $\IR\setminus\{3\}$ [/mm] mal übungshalber nachweisen ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Do 30.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Sin777,
>
>
> > Was ist an meiner Folgerung falsch
>
>
>
> Im ersten Fall [mm]x\le 3[/mm] muss für die Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm]
> gelten, dass [mm]x_n\le 3[/mm] ist für alle [mm]n[/mm]im anderen [mm]x_n<3[/mm] für
> alle [mm]n[/mm]
>
> Du bekommst, dass im ersten Falle die Folge [mm]f(x_n)[/mm] gegen
> [mm]f(x_0)=3[/mm] strebt, im zweiten Falle aber [mm]f(x_n)[/mm] gegen
> [mm](f(x_0))^2=9[/mm] strebt.
>
> Das kann also nicht stetig sein in [mm]x_0=3[/mm]
>
> > und woher weißt du,
> > dass du [mm]x_{n}[/mm] in die [mm]x^2[/mm] funktion einsetzen musst und nicht
> > in die x funktion.
>
> Na, die Folge hat Fred doch definiert als
> [mm]\left(1+1/n)_{n\in\IN}[/mm], also [mm]x_n>3[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm], damit
> greift dort das Quadrat.
Ich hatte [mm]\left(3+1/n)_{n\in\IN}[/mm]
>
> Mit dieser Beispielfolge ist die Stetigkeit an der Stelle
> [mm]x_0=3[/mm] also widerlegt --> siehe Begr. bei Fred
>
> Stetigkeit kannst du durch Angabe eines Gegenbsps.
> widerlegen.
> Das hat Freg getan.
Wer ist Freg ?
FRED
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo Freg,
> Wer ist Freg ?
Na, tu nadürlich ...
![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]")
Oder habe ich dich verwechselt?
>
> FRED
LG
schachuzipus
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