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Ich habe jetzt keine konkrete Aufgabe, aber ich hinke derzeit in Analysis sehr mit dem Verständnis hinterher. Wir haben Aufgaben mit dem Nabla-Zeichen, aber auch wenn ich mir die Definitionen durcharbeite, erschließt sich mir derzeit kaum, was denn nun mit Nabla gemacht wird und was dies einem bringt. Könnte mir da jemand mit einem Beispiel vielleicht weiterhelfen?
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> Ich habe jetzt keine konkrete Aufgabe, aber ich hinke
> derzeit in Analysis sehr mit dem Verständnis hinterher. Wir
> haben Aufgaben mit dem Nabla-Zeichen, aber auch wenn ich
> mir die Definitionen durcharbeite, erschließt sich mir
> derzeit kaum, was denn nun mit Nabla gemacht wird und was
> dies einem bringt. Könnte mir da jemand mit einem Beispiel
> vielleicht weiterhelfen?
Hallo,
hast Du Dir denn in der Wikipedia mal den Artikel über den Nabla-Operator durchgelesen?
Vielleicht kannst Du dann Dich darauf beziehend sagen, was Du nicht verstehst.
(Wenn Du weißt, was div, grad und rot sind, dann ist das Nabla-Symbol (im Prinzip!) verzichtbar. )
Gruß v. Angela
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Formal ist der Nabla-Operator ein (Spalten-)Vektor, dessen Komponenten die partiellen Ableitungsoperatoren sind:
[mm] \bruch{\partial}{\partial x_i}
[/mm]
Da hört es schon auf. Was ist damit genau gemeint? Das alle Vektoren abgeleitet werden?
Wenn ich das zum Beispiel im zweidimensionalen Raum der reellen Zahlen betrachte, dann wäre Nabla einfach ( [mm] \bruch{\partial}{\partial x}, \bruch{\partial}{\partial y}), [/mm] ja? Was würde das nun bringen? Dass ich einfach alles im Raum ableite?
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Hallo lilalaunebaeri,
der Nabla-Operator ist eigentlich nichts anderes als
eine raffinierte Schreibweise für Leute, die viel
mit Vektoranalysis zu tun haben und sich damit
viel Schreibarbeit ersparen können.
Nehmen wir ein Beispiel mit einer in [mm] \IR^3 [/mm] defi-
nierten skalarenFunktion
$\ [mm] f(x,y,z)=x^2+y*z$ [/mm]
sowie einem ebenfalls in [mm] \IR^3 [/mm] definierten Vektorfeld
[mm] $\vec{v}(x,y,z)=\vektor{x\,y\\z^2\\x^2+y^2}$
[/mm]
Der Nabla-Operator im [mm] \IR^3 [/mm] ist der formale Vektor
[mm] $\vec{\nabla}=\vektor{\bruch{\partial}{\partial{x}}\\ \bruch{\partial}{\partial{y}}\\ \bruch{\partial}{\partial{z}}}$
[/mm]
Nun gilt zum Beispiel:
[mm] $\vec{\nabla} [/mm] f\ =\ [mm] \vektor{\bruch{\partial}{\partial{x}}\\ \bruch{\partial}{\partial{y}}\\ \bruch{\partial}{\partial{z}}}(x^2+y*z)=\vektor{\bruch{\partial}{\partial{x}}(x^2+y*z)\\ \bruch{\partial}{\partial{y}}(x^2+y*z)\\ \bruch{\partial}{\partial{z}}(x^2+y*z)}\ [/mm] =\ [mm] \vektor{2\,x\\z\\y}$
[/mm]
Dies ist also gerade der Gradientenvektor der Funktion f,
also kann man die Schreibweise [mm] $\overrightarrow{grad}\,f$ [/mm] ersetzen
durch [mm] $\vec{\nabla} [/mm] f$ , also:
[mm] $\overrightarrow{grad}\,f\ [/mm] =\ [mm] \vec{\nabla} [/mm] f$
Das Skalarprodukt von Nabla mit dem Feldvektor [mm] \vec{v} [/mm] ergibt:
[mm] $\vec{\nabla}*\vec{v}=\vektor{\bruch{\partial}{\partial{x}}\\ \bruch{\partial}{\partial{y}}\\ \bruch{\partial}{\partial{z}}}*\vektor{x\,y\\z^2\\x^2+y^2}=\bruch{\partial}{\partial{x}}(x\,y)+\bruch{\partial}{\partial{y}}(z^2)+\bruch{\partial}{\partial{z}}(x^2+y^2)$
[/mm]
$\ =\ y+0+0\ =\ y$
Dies entspricht genau der Berechnung der Divergenz
des Vektorfeldes, also:
$\ div\ [mm] \vec{v}\ [/mm] =\ [mm] \vec{\nabla}*\vec{v}$
[/mm]
Berechnet man dagegen das Vektorprodukt genau
nach dessen Definition, so erkennt man, dass
$\ [mm] \overrightarrow{rot}\ \vec{v}\ [/mm] =\ [mm] \vec{\nabla}\times\vec{v}$
[/mm]
Es zeigt sich, dass man sich mit der Nabla-Schreibweise
manche Formeln der Vektoranalysis erheblich leichter
merken kann als ohne sie.
LG Al-Chwarizmi
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Vielen vielen Dank, jetzt habe ich das viel besser verstanden.
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