verständnis < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Mi 24.06.2009 | | Autor: | simplify |
hallo liebe leute,
ich hab da mal ne bitte zur förderung meines verständnisses im themenbereich kompakte, zusammenhängende mengen und deren bilder.
ich würde mich freuen wenn ihr mir ein paar beispiele geben könntet, und zwar für:
1. eine nicht stetige abbildung, die eine beliebige kompakte menge auf eine kompakte menge abbildet, d.h.: f(kompakt)=kompakt,aber f nicht stetig
2.das gleiche nur für zusammenhängend statt kompakt
und naja falls ich dann immernoch nicht drauf komme
3.eine nicht stetige abbildung bei der beide 1. und 2. gelten
wär euch seeeehr dankbar
LG
|
|
| |
|
Hallo,
Stell dir zwei Stäbe der Länge 2m vor, welche
identische Zahlenskalen von 0 bis 2 tragen.
Nun sägst du einen der Stäbe mitten entzwei,
drehst das eine der Teilstücke um und klebst
die Stücke wieder aneinander.
Wenn du nun die Skala auf dem unversehrten
Stab als x-Skala und die neu angeordnete Skala
auf dem anderen Stab als y-Skala nimmst,
hast du ein Modell für eine Abbildung der
gewünschten Sorte.
Natürlich lässt sich ein solcher Prozess dann
auch durch Formeln beschreiben.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mi 24.06.2009 | | Autor: | simplify |
danke erstmal, aber es geht mir halt gerade um diese formeln...
damit ich das halt nicht nur optisch nachvollziehen kann, sondern (wie es ja in der mathematik sehr wichtig ist) auch anhand von formeln...
LG
|
|
|
| |
|
> danke erstmal, aber es geht mir halt gerade um diese
> formeln...
> damit ich das halt nicht nur optisch nachvollziehen kann,
> sondern (wie es ja in der mathematik sehr wichtig ist) auch
> anhand von formeln...
> LG
Hallo simplify,
Wenn wir das Stück von 0 bis 1 unverändert
gelassen haben, gilt in diesem Bereich y=x.
Intervall von 1 bis 2 umgekehrt bedeutet:
1 wird auf 2 abgebildet und 2 auf 1. Die
Funktion ist linear, also brauchen wir in
diesem Intervall die Gleichung der Geraden,
welche durch die Punkte (1/2) und (2/1)
geht. Diese kannst du wohl selber aufstellen ...
Insgesamt hat man dann eine Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} x & \mbox{für } 0\le x\le 1 \\ ........, & \mbox{für } 1
Dies ist dann natürlich nur ein Beispiel mit
eindimensionalen Mengen, aber in ganz
analoger Weise kann man z.B. entsprechende
Abbildungen für Mengen in [mm] \IR^2 [/mm] oder [mm] \IR^3
[/mm]
oder höheren Dimensionen basteln.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Mi 24.06.2009 | | Autor: | simplify |
hmmm... lieg ich jetz richtig bei der annahme, dass f(x)=-x+3 ist ??? (im zweiten fall natürlich)
|
|
|
| |
|
> hmmm... lieg ich jetz richtig bei der annahme, dass
> f(x)=-x+3 ist ??? (im zweiten fall natürlich)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Yep. 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mi 24.06.2009 | | Autor: | simplify |
ok, das diese funktion kompakt ist, ist klar, denn sie ist beschränkt und abgeschlossen.
aber zusammenhängend bereitet mir noch kopfschmerzen...
das würde ja heißen, das ich das intervall [0,2]...auf dem die funktion def. ist... ja in zwei offene disjunkte teilintervalle ( bzw. Mengen A,B)aufteilen kann, sodass deren vereinigung wieder das ürsprüngliche intervall [0,2] (bzw. menge C) ist und sodass deren schnitt leer ist woraus dann folgen würde, dass A leer oder B leer
... das mit den mengen ist viell. etwas verwirrend...sorry
zumindest ist das meine definition, wenn ich mich nich irre...
aber ich kann das intervall doch nicht in zwei offene, disjunkte teile teilen, oder doch ???
LG
P.S.: vielen dank für deine hilfe
|
|
|
| |
|
> ok, das diese funktion kompakt ist, ist klar, denn sie ist
> beschränkt und abgeschlossen.
Nicht die Funktion ist kompakt, sondern ihre
Definitions- und ihre Bildmenge.
> aber zusammenhängend bereitet mir noch kopfschmerzen...
> das würde ja heißen, das ich das intervall [0,2]...auf dem
> die funktion def. ist... ja in zwei offene disjunkte
> teilintervalle ( bzw. Mengen A,B)aufteilen kann, sodass
> deren vereinigung wieder das ürsprüngliche intervall [0,2]
> (bzw. menge C) ist und sodass deren schnitt leer ist
> woraus dann folgen würde, dass A leer oder B leer
>
> ... das mit den mengen ist viell. etwas verwirrend...sorry
>
> zumindest ist das meine definition, wenn ich mich nich
> irre...
>
> aber ich kann das intervall doch nicht in zwei offene,
> disjunkte teile teilen, oder doch ???
>
> LG
> P.S.: vielen dank für deine hilfe
Hallo,
die Aufteilung des Intervalls diente ja nur dazu,
die Abbildung zu definieren.
Insgesamt bildet f das abgeschlossene Intervall
C=[0,2] auf C=[0,2] ab, also sind Definitions-
und Bildmenge kompakt.
Die Funktion ist aber nicht auf ganz C stetig.
(Sie ist zwar nur an einer einzigen Stelle
unstetig. Möchtest du diesbezüglich eine
"schlimmere" Funktion, so könnte man
so etwas ohne weiteres basteln, z.B. eine
Funktion, welche an keiner einzigen Stelle
stetig ist ...)
LG Al-Chw.
|
|
|
|
