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| Aufgabe | Man hat insgesamt 40 Kugeln. Jeweils 10 rote, 10 blaue, 10 grüne und 10 gelbe. Die Kugeln einer Sorte sind untereinander nicht unterscheidbar. Jetzt wählt man 10 Kugeln daraus aus (ohne Zurücklegen, Anordnung der ausgewählten Kugeln nicht relevant).
a) Wie viele Möglichkeiten hat man jetzt, wenn man nichts weiter beachtet
b) Wie viele Möglichkeiten, wenn min. 1 rote Kugel dabei sein soll
c) Wie viele Möglichkeiten, wenn gleich viele grüne wie gelbe Kugeln in der Auswahl enthalten sein sollen? |
Hallo,
irgendwie komme ich mit Kombinatorik nicht wirklich zurecht. Ich glaube die folgende Aufgabe ist nicht wirklich schwer, trotzdem bin ich mir bei meinen Lösungen überhaupt nicht sicher, könnte vllt jemand mal drüberschauen?
Zur a)
Also hier denke ich, dass es ja 4 verschiedene Sorten von Kugeln gibt, und ich will 10 davon auswählen, von 10 jeder Sorte sind auch 10 verfügbar, also habe ich in jedem Schritt von jeder Sorte eine Kugel, die ich auswählen kann. Also kann ich in jedem Schritt aus 4 Sorten eine auswählen.
[mm]{4 \choose 1}^{10} = 4^{10}[/mm]
Möglichkeiten.
Zur b)
Hier dachte ich, könnte ich im ersten Schritt aus der einen Sorte (der roten) eine auswählen, habe also 1 Möglichkeit und dann in den restlichen 9 Schritten könnte ich aus allen 4 Sorten wieder eine auswählen, also
[mm]1*{4 \choose 1}^9 = 4^9[/mm]
Aber eigentlich müsste ich doch auch alle Möglichkeiten nehmen können und davon die Möglichkeiten abziehen, bei deinen keine rote Kugel dabei ist, also:
[mm]4^{10} - {3 \choose 1}^{10} = 4^{10} - 3^{10}[/mm]
Dabei kommt man aber nicht auf das gleiche Ergebnis. Also ich dachte ich habe dann ja nur 3 Sorten zur Verfügung, weil ich die rote Sorte ausschließe...
Zur c)
Muss ich hier alle Möglichkeiten einzeln durchrechnen? Also 0 grüne, 0 gelbe; 1 grüne, 1 gelbe; ... ; 5 grüne, 5 gelbe?
Und dann die Einzelmöglichkeiten addieren?
Also wähle ich z.B. bei 2 grünen und 2 gelben genau diese 4 Kugeln aus und die bei den restlichen berücksichtige ich, dass keine grünen und gelben Kugeln mehr nehmen darf, also habe ich für die 2 gelben und 2 grünen Kugeln genau eine Möglichkeit und dann muss ich aus den restlichen 2 Sorten noch 6 Kugeln auswählen und zwar in jedem Schritt eine aus den zwei Sorten, also dann insgesamt als Möglichkeiten für 2 grüne und 2 gelbe Kugeln:
[mm]{2 \choose 1}^6 = 2^6[/mm]
Und das dann für die jeweiligen Anzahl von grün und gelb durchrechnen und addieren?
PS: Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=149371&start=0&lps=1096048#v1096048
Vielen Dank schonmal und viele Grüße,
Franky
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:38 Fr 07.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
a.) Sicher nicht! Mit deiner Methode kommst du auf Kombinationen inkl. Reihenfolgenbeachtung. Du willst aber nicht das die Reihenfolge berücksichtig wird.
Bsp:
Du hast 6 Blaue,3 rote und 1 Gelbe gezogen. Dieser Zustand ist nach Aufgabenstellung als eine Möglichkeit gezählt (d.h. es ist egal ob als erstes 6 Blaue hintereinander gezogen werden oder zuerst eine gelbe und dann eine Blaue etc...). Mit deiner Methode [mm] 4^{10} [/mm] kommst du doch auf [mm] \vektor{10 \\ 6}*\vektor{4 \\ 3}*\vektor{1 \\ 1} [/mm] Möglichkeiten für diesen Zustand, der doch nur als eine Möglichkeit gezählt werden soll.
b.) Das zuerst eine Rote gezogen werden muss ist gar kein Problem: Mache einfach das gleiche wie a.) mit nur 9 anstelle von 10.
c.) Lassen wird mal bis du a.) und b.) hast.
Gruss
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Hallo qsxqsx,
vielen Dank für deine Antwort! Ich denke jetzt ist es mir klarer geworden, ich habe mir das ganze auch gerade nochmal an einem Beispiel klar gemacht, wenn ich nur 2 Kugeln pro Sorte hätte und 2 Kugeln auswählen müsste.
Also trifft hier der Fall zu, Wiederholungen sind möglich und die Anordnung ist nicht relevant.
Also müsste hier n = 4 sein, da es 4 verschiedene Sorten gibt und k = 10, da man 10 mal wählen darf. Es ist also als hätte ich nur 4 verschiedene Kugeln zur Verfügung und lege meine gewählte jedes Mal zurück.
Damit komme ich auf
[mm]{n+k-1 \choose k}={4+10-1 \choose 10}={13 \choose 10} = 286 [/mm]
Möglichkeiten bei a)
Bei b) hätte ich dann
[mm]{4+9-1 \choose 9} = {12 \choose 9} = 220[/mm]
Möglichkeiten, da ich die rote Kugel fest wähle und die restlichen 9 wieder frei wie bei a) wählen kann.
Ist das soweit richtig?
Wenn ja, da bleibt noch Aufgabe c) ;) Geht das wie ich es mit überlegt habe mit der Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten oder bin ich da auf dem Holzweg?
Danke nochmal und viele Grüße,
Franky
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, a) und b) hab ich auch so.
Zur c):
Hier würde ich einfach aufteilen, die Mengen, in denen genau n gelbe und n grüne Kugeln sind, $0 [mm] \le [/mm] n [mm] \le [/mm] 5$.
Will ich dann z.B. die Anzahl der Mengen bestimmen, in denen genau 2 gelbe und 2 grüne Kugeln sind, so sind also 4 Kugeln fest gewählt und die restlichen 6 Kugeln kann man nur noch aus der Menge der roten und blauen Kugeln wählen.
Das kannst du eben für all diese 6 Mengen machen und alle Anzahlen addieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Franky101 |
Vielen Dank nochmal, konnte die c) auch noch lösen und hatte alle Punkte.
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