verkettung von 2 geradenspiege < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man beweise oder widerlege, dass die verkettung von zwei spiegelungen an geraden im Raum, die sich senkrecht schneiden, eine punktspiegelung ist. |
Hallo erstmal,
Ich hab mir erstmal versucht das plastisch mit zwei holzspiessen aufzubauen um es besser verstehen zu können. Bin dann zu dem Schluss gekommen, dass es sich um eine punktspiegelung handelt. Hatte gehofft, ich würde einfach n gegenbeispiel finden :-(
Na Gut, dann hab ich überlegt, dass ich die jeweiligen abbildungsgleichungen an den geraden aufstelle und die verkettung von zweien müsste ja der derpunktspiegelung entsprechen. Aber wie zeige ich das allgemein???
Wer super, wenn irgendjemand nen Tipp für mich hätte wie ich an die Aufgabe am besten rangehe.
Schöne Grüße,
Grafzahl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Do 30.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Man beweise oder widerlege, dass die verkettung von zwei
> spiegelungen an geraden im Raum, die sich senkrecht
> schneiden, eine punktspiegelung ist.
> Hallo erstmal,
> Ich hab mir erstmal versucht das plastisch mit zwei
> holzspiessen aufzubauen um es besser verstehen zu können.
> Bin dann zu dem Schluss gekommen, dass es sich um eine
> punktspiegelung handelt.
Das stimmt so.
> Hatte gehofft, ich würde einfach
> n gegenbeispiel finden :-(
> Na Gut, dann hab ich überlegt, dass ich die jeweiligen
> abbildungsgleichungen an den geraden aufstelle und die
> verkettung von zweien müsste ja der derpunktspiegelung
> entsprechen. Aber wie zeige ich das allgemein???
Du kannst oBdA den Koordinatenursprung in den Schnittpunkt der beiden Geraden legen und die Geraden auf die x-Achse und die y-Achse, falls dieser vorher nicht im Ursprung liegt, mache vorher eine Koordinatentransformation.
Dann hast du die beiden Spiegelgraden
[mm] g_{x}=\lambda\cdot\vektor{1\\0\\0}
[/mm]
und
[mm] g_{y}=\mu\cdot\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
Spiegele nun einen beliebigen Punkt A zuerst an beiden Geraden und dann am Ursprung.
> Wer super, wenn irgendjemand nen Tipp für mich hätte wie
> ich an die Aufgabe am besten rangehe.
> Schöne Grüße,
> Grafzahl
Marius
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Erstmal vielen dank für deine Hilfe.
Einen ähnlichen Gedanken hatte ich auch schon, dachte aber, dass wäre nur ein beweis in der Ebene und nicht im dreidimensionalen Raum ( so habe ich den Teil der Aufgabenstellung "schneiden sich im Raum" verstanden). Gilt das dann auch für den Raum, wenn ich das so mache wie Du es erklärt hast?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Do 30.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Erstmal vielen dank für deine Hilfe.
> Einen ähnlichen Gedanken hatte ich auch schon, dachte
> aber, dass wäre nur ein beweis in der Ebene und nicht im
> dreidimensionalen Raum ( so habe ich den Teil der
> Aufgabenstellung "schneiden sich im Raum" verstanden).
Wichtig ist, dass sich die beiden Geraden senkrecht schneiden, und der einfachste Fall ist, wenn man das ganze über eine Koordinantentransformation so legt, dass man die Geraden auf zwei Koordiantenachsen transferiert. Man hätte sicherlich auch die x-Achse und die Z-Achse oder die y-Achse und die z-Achse nehmen können.
> Gilt
> das dann auch für den Raum, wenn ich das so mache wie Du
> es erklärt hast?
Ja. Wobei im Raum die senkrechte Spiegelung an der Geraden nicht ganz so einfach händelbar ist, da du die senkrechte Verbindung zwischen einem Punkt und einer Gerade nicht ganz so einfach findest, wie im [mm] \IR^{2}
[/mm]
Marius
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Du kannst den erwähnten "Trick" räumlich verallgemeinern: Wenn sich 2 Geraden irgendwo im Raum senkrecht schneiden, kannst du dort hingehen und ein Brett mit einem 2-dim-Koordinatensystem so hinhalten, dass die eine Gerade auf der x- und die andere auf der y-Achse zu liegen kommt. Rest wie gehabt.
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Danke nochmal für die vielen Tipps.
Aber wie spiegele ich rechnerisch einen allgemeinen Punkt an 2 geraden, bzw an einem Punkt?
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Hallo,
> Danke nochmal für die vielen Tipps.
> Aber wie spiegele ich rechnerisch einen allgemeinen Punkt
> an 2 geraden, bzw an einem Punkt?
Wie schon gesagt: es geht hier nicht mehr um irgendeine Gerade oder irgendeinen Punkt, sondern um die x- bzw- die y-Achse in einem xyz-Koordinaatensystem bzw. um dessen Ursprung. Spiegeluing an der x-Achse wäre dann:
[mm] \vektor{\overline{x} \\ \overline{y} \\ \overline{z}}=\vektor{x \\ -y \\ -z}[/mm]
Spiegelung an der y-Achse entsprechend, am Ursprung ganz einfach
[mm] \vektor{\overline{x} \\ \overline{y} \\ \overline{z}}=\vektor{-x \\ -y \\ -z}[/mm]
Gruß, Diophant
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Okay. Das sieht Gut aus. Ich versteh nur nicht, warum bei der spiegelung an der x-Achse aus (x/y/z) (x/-y/-z) wird. Das -y kann ich nachvollziehen, aber ich dachte im Bezug auf den z-wert ändert sich nichts. Oder doch?
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Hallo,
> Ich versteh nur nicht, warum bei
> der spiegelung an der x-Achse aus (x/y/z) (x/-y/-z) wird.
> Das -y kann ich nachvollziehen, aber ich dachte im Bezug
> auf den z-wert ändert sich nichts. Oder doch?
doch.
Halt Dir doch mal ein Koordinatensystem aus Stiften oder Daumen-Zeigefinger-Ringfinger hin und überleg Dir's.
LG Angela
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