vereinfachtes Newtonverfahren < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Mo 10.03.2008 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | Wie funktioniert das vereinfachte Newtonverfahren |
Also meine Frage ist eigentlich schon die Aufgabe. Man wendet dieses Verfahren doch an, wenn man die Matrix nicht invertieren will und nimmt dann [mm] \overline{x} [/mm]
und [mm] x_{i+1}=x_{i}+(f'(\overline{x}))^{-1}(y-f(x_{i}))
[/mm]
Aber wie wählt man da das [mm] \overline{x} [/mm] und nach welcher Variablen leitet man da ab?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Sa 15.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Frage versteh ich nicht ganz:
Das Newtonverfahren nimmt man um Nullstellen von fkt zu finden.
was du hingeschrieben hast, hat für mich nichts mit Matrizen zu tun.
Ausserdem seh ich keinen Zusammenhang mit Funktionalanalysis.
Das vereinfachte Newtonverfahren, heisst einfach, dass man über ein paar Schritte des Newtonverfahrens mit einer festen Tangentensteigung rechnet ( wohl an deiner Stelle xquer)
Kannst du sagen, was du hierbei mit Matrix willst?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Di 18.03.2008 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | Wie funktioniert das vereinfachte Newtonverfahren in höheren Dimensionen? |
Es geht hier um das Newtonverfahren in höheren Dimensionen. Wenn man also eine Funktion von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] hat. Dann ist diese Matrix die Nablamatrix von f. [mm] x^{i+1}=x^{i}+(nabla f(x^{i}))^{-1} (y-f(x^{i})
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Di 18.03.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich deine Frage richtig verstanden habe:
Beim Newtonverfahren berechnet man eine lineare Approximation der Funktion f an der Stelle [mm] x_i [/mm] : l(x) = [mm] f(x_i)+\nabla f(x_i)(x-x_i)
[/mm]
Setzt man diese gleich 0 so erhält man daraus die nächste Näherung für eine Nullstelle der Funktion f: [mm] x_{i+1}=x_i-(\nabla f(x_i))^{-1}f(x_i)
[/mm]
In der Praxis berechnet man nicht [mm] (\nabla f(x_i))^{-1} [/mm] sondern setzt
[mm] x_{i+1}=x_i-\lambda_i v_i [/mm] wobei die Schrittweite [mm] \lambda_i [/mm] eine reelle Zahl und [mm] v_i [/mm] die Lösung des linearen Gleichungssystems [mm] \nabla f(x_i) v_i [/mm] = [mm] f(x_i) [/mm] ist (zur Bestimmung einer geeigneten Schrittweite gibt es noch gesonderte Überlegungen).
Beim vereinfachten Newton-Verfahren wird die Matrix [mm] \nabla f(x_i) [/mm] nicht in jedem Schritt neu berechnet (denn das wäre sehr aufwendig), sondern über mehrere Iterationen hinweg beibehalten, oder es wird die Matrix [mm] \nabla f(x_i) [/mm] einmal berechnet und dann mittels sogenannter Update-Formeln von Iteration zu Iteration angepasst.
Insgesamt gibt es eine Vielzahl von Verfahren, die an das Newton-Verfahren angelehnt sind.
Hilft dir das weiter?
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