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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:21 Sa 27.03.2010 | | Autor: | s-jojo |
| Aufgabe | alle Vektoraxiome für die Tripel (a,b,c) reeller Zahlen mit
(a,b,c)+(a',b',c')=(a+a',b+b',c+c') und k(x,y,z)=(0,0,0) überprüfen! |
Hi,
ich hab ja ziemlich viele Vektoraxiome nachzuweisen, z.B. die Assoziativität oder Distributivität.
Könnte ich das so machen?
1.Axiom: [mm] a,b\in V\Rightarrow a+b\in [/mm] V
(a,b,c)+(a',b',c')=(a+a',b+b',c+c')
(Das steht da oben doch schon, oder?)
2.A.: a+b=b+a
(a,b,c)+(a',b',c')=(a+a',b+b',c+c')=(a',b',c')+(a,b,c)
3.A.: a+(b+c)=(a+b)+c
da bin ich mir unsicher, kann ich einfach schreiben:
Für [mm] \overline{a},\overline{b},\overline{c}\in [/mm] V gilt:
[mm] (a,b,c)+[(a',b',c')+(\overline{a},\overline{b},\overline{c})]=[(a,b,c)+(a',b',c')]+(\overline{a},\overline{b},\overline{c})
[/mm]
4.A.: [mm] 0\in V,\forall a\in [/mm] V 0+a=a+0=a
0+(a,b,c)=(a,b,c)+0=(a,b,c)
5.A.: [mm] \forall a\in V\exists -a\in [/mm] V
(a,b,c)+(-(a,b,c))=(-(a,b,c))+(a,b,c)=0
6.A.: k Skalar, [mm] u\in V\Rightarrow ku\in [/mm] V
[mm] k(a,b,c)=(0,0,0)\in [/mm] V
7.A.: k(a+b)=ka+kb
k((a,b,c)+(a',b',c')]=k(a,b,c)+k(a',b',c')=(0,0,0)+(0,0,0)=(0,0,0)
8.A.: (k+l)a=ka+la (k,l Skalare)
(k+l)(a,b,c)= k(a,b,c)+l(a,b,c)=(0,0,0)+(0,0,0)=(0,0,0)
9.A.: k(la)=(kl)a
k(l(a,b,c))=(kl)(a,b,c)=(0,0,0)
10.A.: 1a=a
[mm] 1(a,b,c)=(a,b,c)\not=(0,0,0)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] kein Vektorraum.
Muss man die "Beweise" ausführlicher machen? Mir fällt nämlich überhaupt nicht ein, wie man das noch (besser) beweisen kann.
Gruß,
s-jojo
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> alle Vektoraxiome für die Tripel (a,b,c) reeller Zahlen
> mit
> (a,b,c)+(a',b',c')=(a+a',b+b',c+c') und k(x,y,z)=(0,0,0)
> überprüfen!
> Hi,
>
> ich hab ja ziemlich viele Vektoraxiome nachzuweisen, z.B.
> die Assoziativität oder Distributivität.
>
> Könnte ich das so machen?
Hallo,
wenn Du so etwas tust, mußt Du für jeden Schritt, den Du gehst, eine Begründung auf lager haben.
>
> 1.Axiom: [mm]a,b\in V\Rightarrow a+b\in[/mm] V
> (a,b,c)+(a',b',c')=(a+a',b+b',c+c')
> (Das steht da oben doch schon, oder?)
Das ja, aber die Begründung dafür, warum (a+a',b+b',c+c') [mm] \in [/mm] V liegt, bleibst Du schuldig.
>
> 2.A.: a+b=b+a
> (a,b,c)+(a',b',c')=(a+a',b+b',c+c')=(a',b',c')+(a,b,c)
Das geht zu schnell. Wie begründest Du, daß (a+a',b+b',c+c')=(a',b',c')+(a,b,c) ?
Da fehlt ein Schritt.
Richtig wäre es so:
> (a,b,c)+(a',b',c')=(a+a',b+b',c+c')
nach Def. von +
> =(a'+a,b'+b,c'+c)
[mm] \IR [/mm] ist Körper (Kommutativität der Addition)
> =(a',b',c')+(a,b,c)
nach Def. von +
>
> 3.A.: a+(b+c)=(a+b)+c(a',b',c')+(a,b,c)
> da bin ich mir unsicher, kann ich einfach schreiben:
> Für [mm]\overline{a},\overline{b},\overline{c}\in[/mm] V gilt:
>
> [mm](a,b,c)+[(a',b',c')+(\overline{a},\overline{b},\overline{c})]=[(a,b,c)+(a',b',c')]+(\overline{a},\overline{b},\overline{c})[/mm]
Nein, das ist eine bloße Behauptung. Du mußt es vom Stile her wie oben machen und mit der Körpereigenschaft v. [mm] \IR [/mm] begründen.
>
> 4.A.: [mm]0\in V,\forall a\in[/mm] V 0+a=a+0=a
Verkürzungen rächen sich mitunter sehr.
Das muß heißen: es existiert ein Element [mm] 0\in [/mm] V, so daß für alle Elemente [mm] a\in [/mm] V gilt:0+a=a+0=a
Wenn man verkürzen will: in V geibt es ein neutrales Element bzgl der Addition.
> 0+(a,b,c)=(a,b,c)+0=(a,b,c)
??? Was soll diese 0 bedeuten? Du mußt ein Element aus dem [mm] \IR^3 [/mm] vorzeigen, welches neutrales Element ist.
>
> 5.A.: [mm]\forall a\in V\exists -a\in[/mm] V
In Worten: zu jedem Element aus V geibt es ein Inverses.
> (a,b,c)+(-(a,b,c))=(-(a,b,c))+(a,b,c)=0
Nein, so geht das nicht.
Wir wissen doch gar nicht, was -(a,b,c) sein soll.
Du behauptest da einfach irgendwas.
Das geht so:
Sei [mm] (a,b,c)\in [/mm] V.
Nun zauberst Du ein ganz konkretes Element (..., ..., ...) hervor, welches zu (a,b,c) den Regeln entsprechend addiert das neutrale Element ergibt.
>
> 6.A.: k Skalar, [mm]u\in V\Rightarrow ku\in[/mm] V
> [mm]k(a,b,c)=(0,0,0)\in[/mm] V
Es fehlt die Begründung dafür, daß das in V ist.
>
> 7.A.: k(a+b)=ka+kb
>
> k((a,b,c)+(a',b',c')]=k(a,b,c)+k(a',b',c')=(0,0,0)+(0,0,0)=(0,0,0)
>
> 8.A.: (k+l)a=ka+la (k,l Skalare)
> (k+l)(a,b,c)= k(a,b,c)+l(a,b,c)=(0,0,0)+(0,0,0)=(0,0,0)
Nein, das ist verkehrt so, Du arbeitest nicht mit den Definitionen.
(k+l)(a,b,c)= ??? (nach Def. der Multiplikation mit Skalaren)
= ... (nach ??? im Körper [mm] \IR)
[/mm]
usw.
>
> 9.A.: k(la)=(kl)a
> k(l(a,b,c))=(kl)(a,b,c)=(0,0,0)
S.o.
Arbeit nach definition ist fällig, nicht das Aneinanderreihen von Behauptungen
>
> 10.A.: 1a=a
> [mm]1(a,b,c)=(a,b,c)\not=(0,0,0)[/mm]
Du meinst es vielleicht richtig - vielleicht aber auch nicht...
So geht's:
Gegenbeispiel
Sei [mm] a:=(1,2,3)\in [/mm] V.
Es ist 1(1,2,3)=(0,0,0) nach Def. der Multiplikation mit Skalaren,
jedoch ist [mm] 1(1,2,3)=(0,0,0)\not=(1,2,3)=a
[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] kein Vektorraum.
Genau.
Gruß v. Angela
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