vektorräume. l.u. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Sa 15.11.2008 | | Autor: | mangaka |
| Aufgabe | a) bildet die folgende Familie von Vektoren eine Erzeugendes System von $ [mm] \IR^3 [/mm] $
$ [mm] v_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] $
$ [mm] v_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] $
$ [mm] v_3 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] $
b)
Sei V ein Vektorraum und $ [mm] v_1, v_2 \in [/mm] V $. Beweisen Sie: Wenn $ [mm] (v_1, v_2) [/mm] $ linear undabhängig ist und $ w [mm] \not\in Spann(v_1, v_2) [/mm] $, so ist $ [mm] (v_1, v_2, [/mm] w) $ linear unabhängig |
hi,
ich habe diese aufgaben eigentlich gelöst und wollte nur wissen, ob meine beweise richtig formuliert sind. ich habe nämlich deshalb schon viele punkte verloren
2.a)
da die 3 vekoren linear unabhängig zueinander sind, beinhaltet der spann von ihnen jeden mögliche vektor in $ [mm] \IR^3, [/mm] $ weswegen die familie ein erzeugendessystem des $ [mm] \IR^3 [/mm] $ bildet.
ist das jetzt mathematisch genug oder muss ich irgendwelche formeln aufschreiben? wie kann man das mathematisch beweisen?
b)
hier habe ich folgendes aufgeschrieben:
$ V = [mm] Spann(v_1, v_2) [/mm] $,
$ w [mm] \not\in [/mm] Spann => w [mm] \not\in [/mm] V $[/mm] weswegen $ [mm] (v_1, v_2, [/mm] w) $ linear unabhängig sein muss.
eigentlich dieselbe frage wie oben. ist das mathematisch genug oder fehlt der 'echte' beweis :/
mfg
mangaka
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> a) bildet die folgende Familie von Vektoren eine
> Erzeugendes System von [mm]\IR^3[/mm]
> [mm]v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]v_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> b)
> Sei V ein Vektorraum und [mm]v_1, v_2 \in V [/mm]. Beweisen Sie:
> Wenn [mm](v_1, v_2)[/mm] linear undabhängig ist und [mm]w \not\in Spann(v_1, v_2) [/mm],
> so ist [mm](v_1, v_2, w)[/mm] linear unabhängig
> hi,
>
> ich habe diese aufgaben eigentlich gelöst und wollte nur
> wissen, ob meine beweise richtig formuliert sind. ich habe
> nämlich deshalb schon viele punkte verloren
>
> 2.a)
> da die 3 vekoren linear unabhängig zueinander sind,
Hallo,
das mußt Du in der HÜ natürlich vorrechnen.
> beinhaltet der spann von ihnen jeden mögliche vektor in
> [mm]\IR^3,[/mm]
Das müßtest Du zeigen.
Du kannst natürlich über die Dimension des [mm] \IR^3 [/mm] argumentieren.
Kannst sagen, daß die Vektoren eine Basis und somit ein Erzeugendensystem sind.
>
> b)
> hier habe ich folgendes aufgeschrieben:
> [mm]V = Spann(v_1, v_2) [/mm],
> [mm]w \not\in Spann => w \not\in V[/mm][/mm]
> weswegen [mm](v_1, v_2, w)[/mm] linear unabhängig sein muss.
>
> eigentlich dieselbe frage wie oben. ist das mathematisch
> genug oder fehlt der 'echte' beweis :/
Der Beweis fehlt.
Du mußt hier über die Def. der linearen Unabhängigkeit gehen, also Dir überlegen, was ist, wenn eine Linearkombi von [mm] v_1, v_2, [/mm] w die Null ergibt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Sa 15.11.2008 | | Autor: | mangaka |
> > a) bildet die folgende Familie von Vektoren eine
> > Erzeugendes System von [mm]\IR^3[/mm]
> > [mm]v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
> > [mm]v_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > [mm]v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
> >
> > b)
> > Sei V ein Vektorraum und [mm]v_1, v_2 \in V [/mm]. Beweisen Sie:
> > Wenn [mm](v_1, v_2)[/mm] linear undabhängig ist und [mm]w \not\in Spann(v_1, v_2) [/mm],
> > so ist [mm](v_1, v_2, w)[/mm] linear unabhängig
> > hi,
> >
> > ich habe diese aufgaben eigentlich gelöst und wollte nur
> > wissen, ob meine beweise richtig formuliert sind. ich habe
> > nämlich deshalb schon viele punkte verloren
> >
> > 2.a)
> > da die 3 vekoren linear unabhängig zueinander sind,
>
> Hallo,
>
> das mußt Du in der HÜ natürlich vorrechnen.
>
> > beinhaltet der spann von ihnen jeden mögliche vektor in
> > [mm]\IR^3,[/mm]
>
> Das müßtest Du zeigen.
>
> Du kannst natürlich über die Dimension des [mm]\IR^3[/mm]
> argumentieren.
>
> Kannst sagen, daß die Vektoren eine Basis und somit ein
> Erzeugendensystem sind.
>
was heisst eine basis sind? ich glaube wir sollen das mit dem spann wohl zeigen. wie geht das?
dass die linear unabhängig sind habe ich schon gezeigt in meiner übung :D
> >
> > b)
> > hier habe ich folgendes aufgeschrieben:
> > [mm]V = Spann(v_1, v_2) [/mm],
> > [mm]w \not\in Spann => w \not\in V[/mm][/mm]
> > weswegen [mm](v_1, v_2, w)[/mm] linear unabhängig sein muss.
> >
> > eigentlich dieselbe frage wie oben. ist das mathematisch
> > genug oder fehlt der 'echte' beweis :/
>
> Der Beweis fehlt.
>
> Du mußt hier über die Def. der linearen Unabhängigkeit
> gehen, also Dir überlegen, was ist, wenn eine Linearkombi
> von [mm]v_1, v_2,[/mm] w die Null ergibt.
>
> Gruß v. Angela
also linear unabhängig heisst, hier z.b:
[mm] $\lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] w = 0$
wenn die gleichung nur aufgeht, falls alle [mm] \lambda [/mm] 0 sind.
aber wie hilft mir das nun? soll ich sagen, dass nur diese 'triviale' loesung aufgeht, weil $w$ nicht im [mm] $Spann(v_1, v_2)$ [/mm] liegt??
ich hoffe, du hast geduld mit mir :D
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> > > a) bildet die folgende Familie von Vektoren eine
> > > Erzeugendes System von [mm]\IR^3[/mm]
> > > [mm]v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
> >
> > [mm]v_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
> >
> > >
> > > [mm]v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
> > >
> > > b)
> > > Sei V ein Vektorraum und [mm]v_1, v_2 \in V [/mm]. Beweisen
> Sie:
> > > Wenn [mm](v_1, v_2)[/mm] linear undabhängig ist und [mm]w \not\in Spann(v_1, v_2) [/mm],
> > > so ist [mm](v_1, v_2, w)[/mm] linear unabhängig
> > > hi,
> > >
> > > ich habe diese aufgaben eigentlich gelöst und wollte nur
> > > wissen, ob meine beweise richtig formuliert sind. ich habe
> > > nämlich deshalb schon viele punkte verloren
> > Kannst sagen, daß die Vektoren eine Basis und somit ein
> > Erzeugendensystem sind.
> >
>
> was heisst eine basis sind?
Hallo,
wenn die Begriffe Basis und Dimension nicht dran waren, mußt Du für "Erzeugendensystem" vorrechnen, wie Du tatsächlich jeden beliebigen Vektor [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] als Linearkombination der drei Vektoren darstellen kannst. Du mußt also die Koeffizienten angeben.
> ich glaube wir sollen das mit
> dem spann wohl zeigen. wie geht das?
> dass die linear unabhängig sind habe ich schon gezeigt in
> meiner übung :D
> > > b)
> also linear unabhängig heisst, hier z.b:
> [mm]\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 w = 0[/mm]
> wenn die
> gleichung nur aufgeht, falls alle [mm]\lambda[/mm] 0 sind.
>
> aber wie hilft mir das nun? soll ich sagen, dass nur diese
> 'triviale' loesung aufgeht, weil [mm]w[/mm] nicht im [mm]Spann(v_1, v_2)[/mm]
> liegt??
Nein, Du mußt vorrechnen, daß diese Gleichung nur die triviale Lösung haben kann.
Mach dazu eine Fallunterscheidung.
Fall 1: [mm] \lambda_3=0
[/mm]
Fall 2: [mm] \lambda_3\not=0
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 So 16.11.2008 | | Autor: | mangaka |
so...
a) hab ich jetzt so gelöst, dass ich einen vektor definiert habe(mit unbekannten komponenten) und dann gesagt, habe dass er sich durch die anderen 3 darstellen lässt.
dafür habe ich ein gleichungssystem aufgestellt und mit hilfe der matrix gezeigt, dass es für jede wahl der komponenten eine lösung gibt.
b)
ich versteh nicht ganz, was diese fallunterscheidung soll.
wir wissen, dass [mm] $\lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2 [/mm] = 0$ ist, wenn die [mm] \lambda [/mm] null sind, da die vektoren ja linear unabhängig sind.
wenn wir jetzt diese gleichung haben:
[mm] $\lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] w = 0$ und wissen, dass $w$ NICHT im [mm] spann(V_1, v_2) [/mm] liegt, kann man die gleichung nur lösen, wenn [mm] $\lambda_3 [/mm] = 0$ ist, da sonst irgenwas rauskommt, nur nicht null, außer $w$ ist null.
geh ich dir schon auf den wecker ^^ ??
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> so...
> a) hab ich jetzt so gelöst, dass ich einen vektor
> definiert habe(mit unbekannten komponenten) und dann
> gesagt, habe dass er sich durch die anderen 3 darstellen
> lässt.
>
> dafür habe ich ein gleichungssystem aufgestellt und mit
> hilfe der matrix gezeigt, dass es für jede wahl der
> komponenten eine lösung gibt.
Hallo,
klingt nicht unvernünftig, ob Du's richtig gemacht hast, kann ich natürlich nicht wissen.
>
> b)
> ich versteh nicht ganz, was diese fallunterscheidung
> soll.
> wir wissen, dass [mm]\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 = 0[/mm] ist,
> wenn die [mm]\lambda[/mm] null sind, da die vektoren ja linear
> unabhängig sind.
> wenn wir jetzt diese gleichung haben:
> [mm]\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 w = 0[/mm] und
> wissen, dass [mm]w[/mm] NICHT im [mm]spann(V_1, v_2)[/mm] liegt, kann man die
> gleichung nur lösen, wenn [mm]\lambda_3 = 0[/mm] ist, da sonst
> irgenwas rauskommt, nur nicht null, außer [mm]w[/mm] ist null.
Ja sicher.
Aber so genau mußt Du es auch hinschreiben und begründen.
Es gibt die zwei Fälle Koeffizient vor w verschieden von Null und Koeffizient vor w gleich 0.
Ersteres führt zum Widerspruch zu den Voraussetzungen, und zweiteres hat zur Folge, daß aufgrund der Voraussetzungen alle Koeffizienten 0 sind, womit dann die lineare Unabhängigkeit gezeigt ist.
So hätte man eine hieb- und stichfeste begründung.
Gruß v. Angela
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>
> geh ich dir schon auf den wecker ^^ ??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 So 16.11.2008 | | Autor: | mangaka |
> > so...
> > a) hab ich jetzt so gelöst, dass ich einen vektor
> > definiert habe(mit unbekannten komponenten) und dann
> > gesagt, habe dass er sich durch die anderen 3 darstellen
> > lässt.
> >
> > dafür habe ich ein gleichungssystem aufgestellt und mit
> > hilfe der matrix gezeigt, dass es für jede wahl der
> > komponenten eine lösung gibt.
>
>
> Hallo,
>
> klingt nicht unvernünftig, ob Du's richtig gemacht hast,
> kann ich natürlich nicht wissen.
>
woher denn auch :D
bin mir aber ziemlich sicher, dass es richtig ist.
> > b)
> > ich versteh nicht ganz, was diese fallunterscheidung
> > soll.
> > wir wissen, dass [mm]\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 = 0[/mm] ist,
> > wenn die [mm]\lambda[/mm] null sind, da die vektoren ja linear
> > unabhängig sind.
> > wenn wir jetzt diese gleichung haben:
> > [mm]\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 w = 0[/mm] und
> > wissen, dass [mm]w[/mm] NICHT im [mm]spann(V_1, v_2)[/mm] liegt, kann man die
> > gleichung nur lösen, wenn [mm]\lambda_3 = 0[/mm] ist, da sonst
> > irgenwas rauskommt, nur nicht null, außer [mm]w[/mm] ist null.
>
> Ja sicher.
> Aber so genau mußt Du es auch hinschreiben und begründen.
>
> Es gibt die zwei Fälle Koeffizient vor w verschieden von
> Null und Koeffizient vor w gleich 0.
>
> Ersteres führt zum Widerspruch zu den Voraussetzungen, und
> zweiteres hat zur Folge, daß aufgrund der Voraussetzungen
> alle Koeffizienten 0 sind, womit dann die lineare
> Unabhängigkeit gezeigt ist.
>
> So hätte man eine hieb- und stichfeste begründung.
>
> Gruß v. Angela
>
>
gut, dann mach ich mich mal daran, das so aufzuschreiben.
hast mir sehr geholfen!
mfg
mangaka
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