variablenbestimmung parameter < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Di 16.05.2006 | | Autor: | shino |
| Aufgabe | | Lassen sich die Geraden g1 zu x(vektor)= [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] + r /times [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ b \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] und g2 zu x(vektor)= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + s /times [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ c \end{pmatrix} [/mm] Werte für die Variablen a, b und c so bestimmen dass: a) g1 und g2 parallel sind b) g1 und g2 windschief sind c) beide sich schneiden |
wie kann man diese aufgabe lösen? ich habe für a den ersten richtungsvektor gleich s mal den anderen richtungsvektor genommen. ich weiss aber nicht, was ich machen soll, wenn ich diese werte in meine gleichungen eingesetzt habe.
mfg shino
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Di 16.05.2006 | | Autor: | Scholli |
a) parallel
Damit die beiden Geraden parallel sind, müssen ihre Richtungsvektoren in die selbe Richtung zeigen. Das tun sie genau dann, wenn der eine Richtungsvektor ein Vielfaches vom Anderen ist, wenn also gilt
[mm] \left( \begin{array}{c} 3 \\ b \\ 1 \end{array} \right) = q \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ c \end{array} \right) [/mm]
Wenn du dir die erste Koordinate anguckst, muss unbedingt [mm]q=-3[/mm] sein, sonst stimmt die Gleichung nicht. Wenn du q kennst, kannst du b und c ganz einfach ausrechnen...
b) windschief
Einst steht fest: Egal wie du die Variablen a,b,c wählst, die Geraden werden sich entweder schneiden oder nicht (= sind windschief). Ums mir leicht zu machen, hab ich einfach mal alle drei Variablen = 0 gesetzt und geguckt was passiert. Dann ist
[mm]g_1 : x= \left( \begin{array}{c} 0 & 0 & -1 \end{array} \right) + r \left( \begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \end{array} \right)[/mm] und [mm]g_2 : x = \left( \begin{array}{c} 1 & 1 & 2 \end{array} \right) + s \left( \begin{array}{c} -1 & 2 & 0 \end{array} \right) [/mm]
und wenn du die jetzt gleichsetzt, ergibt sich ein lineares Gleichungssystem (LGS). Wenn du das auflöst, erhälst du einen Wiederspruch, was bedeutet, dass das LGS keine Lösung hat. Das wiederum bedeutet, dass die Geraden sich nicht schneiden. Somit ham wir Aufgabe b) schonmal.
(Wäre ein Lösung für das LGS rausgekommen, hätten sich die Geraden also geschnitten und wir hätten Aufgabe c) schon gelöst.)
c) schneiden sich
Also jetzt noch a,b,c so finden, dass sich die Geraden schneiden. Das hab ich ein wenig umständlich gemacht, vielleicht gehts noch leichter, keine Ahnung.
Ich hab die beiden Geraden wieder gleichgesetzt, diesmal aber für a,b,c noch nix eingesetzt, also
[mm] \left( \begin{array}{c} 0 & a & -1 \end{array} \right) + r \left( \begin{array}{c} 3 & b & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 & 1 & 2 \end{array} \right) + s \left( \begin{array}{c} -1 & 2 & c \end{array} \right) [/mm]
Das ergibt ein LGS.
Da hab ich jetzt dreimal probiert, was sinnvolles rauszukriegen und jedesmal kam Quatsch raus.. Vielleicht hilft dir da noch jemand anderes weiter..
mfg scholli
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