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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:33 Di 17.03.2009 | | Autor: | dr_geissler |
| Aufgabe | Seien V ein K-Vektorraum und [mm] U_{1}, \ldots, U_{r} \subset [/mm] V (r [mm] \in \IN) [/mm] Untervektorräume von V .
Zeigen Sie:
a) [mm] U_{1} [/mm] + [mm] \ldots+ U_{r} [/mm] = [mm] \{v \in V : v = v_{1} + \ldots+ v_{r} \ mit \ v_{j} \in U_{j}\}
[/mm]
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Um das zu lösen hab ich mir folgendes überlegt.
Ich weiß, dass die Summe zweier Unterräume wieder einen Untterraum bilden.
Also sei [mm] \summe_{i=1}^{r} U_{i} [/mm] = $W$
Jetzt zeige ich nur noch, dass W ein untervektorraum ist mit $v [mm] \in [/mm] W$ und fertig.
Oder mache ich mir das zu einfach ??
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Hallo,
ich nehme an, daß Ihr [mm] U_1+U_2 [/mm] defineirt habt und gezeigt, daß [mm] U_1+U_2 [/mm] ein Unterraum ist.
Die von Dir zu zeigende Aussage kannst Du mit vollständiger induktion beweisen.
> Ich weiß, dass die Summe zweier Unterräume wieder einen
> Untterraum bilden.
>
> Also sei [mm]\summe_{i=1}^{r} U_{i}[/mm] = [mm]W[/mm]
Du machst es Dir zu einfach mit "also sei".
Daß das ein Unterraum ist, weißt Du bisher nur für zwei Summanden. (s.o.)
Gruß v. Angela
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Ist das in etwa so richtig:
IA: j=2
[mm] U_{1}+U_{2}=W
[/mm]
mit [mm] a,b\inW, v_{1},v_{2}\in U_{1} [/mm] und [mm] w_{1},w_{2}\in U_{2}
[/mm]
[mm] \(a=v_{1}+w_{1}
[/mm]
[mm] \(b=v_{2}+w_{2}
[/mm]
dann ist
[mm] \(a+b=v_{1}+w_{1}+v_{2}+w_{2}
[/mm]
[mm] \(=v_{1}+v_{2}+w_{1}+w_{2}
[/mm]
da [mm] \(v_{1}+v_{2} \in U_{1} [/mm] und [mm] \(w_{1}+w_{2} \in U_{2}
[/mm]
und [mm] U_{1} [/mm] + [mm] U_{2} \in \(U \Rightarrow a+b\in \(U
[/mm]
Analog würde ich das Ganze auch für die multiplikation machen und dann den IS nach (j+1).
Wäre das der richtige Weg ???
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Di 31.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ist das in etwa so richtig:
>
>
> IA: j=2
>
> [mm]U_{1}+U_{2}=W[/mm]
>
> mit [mm]a,b\in W, v_{1},v_{2}\in U_{1}[/mm] und [mm]w_{1},w_{2}\in U_{2}[/mm]
>
> [mm]\(a=v_{1}+w_{1}[/mm]
das ist zwar ein vektor in W, aber ein zu spezieller.
Du musst einen allgemeinen nehmen.
am besten schreibst du als erstes hin, was die Def. fuer einen Vektor aus W ist.
der Beweis laeuft dann trotzdem so aehnlich.
oder du musst hinschreiben: zu jedem Vekor a aus W gibt es ein v aus U! und ein w aus U2 ....
Gruss leduart
> [mm]\(b=v_{2}+w_{2}[/mm]
>
> dann ist
>
> [mm]\(a+b=v_{1}+w_{1}+v_{2}+w_{2}[/mm]
> [mm]\(=v_{1}+v_{2}+w_{1}+w_{2}[/mm]
>
> da [mm]\(v_{1}+v_{2} \in U_{1}[/mm] und [mm]\(w_{1}+w_{2} \in U_{2}[/mm]
> und
> [mm]U_{1}[/mm] + [mm]U_{2} \in \(U \Rightarrow a+b\in \(U[/mm]
>
>
> Analog würde ich das Ganze auch für die multiplikation
> machen und dann den IS nach (j+1).
>
> Wäre das der richtige Weg ???
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