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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 So 18.11.2007 | | Autor: | bonni |
hallo zusammen!!!
ich habe folgende aufgabe zu bearbeiten:
es seien U,W Untervektorräume eines Vektorraums V. Man zeige, dass die Vereinigung U [mm] \cup [/mm] W genau dann ein Unterraum von V ist, wenn entweder U [mm] \subset [/mm] W oder W [mm] \subset [/mm] U.
Ich habe mir zu dieser Aufgabe im laufe des Wochenendes ein paas gedanken gemacht und bin mir auch schon recht sicher, dass ich verstanden habe wie ich diese Aufgabe lösen soll.Jedoch habe ich probleme beim formulieren meiner beweise, wär super wenn mir jemand helfen könnte.
also hier meine Überlegungen:
Behauptung: wenn U [mm] \subset [/mm] W oder W [mm] \subset [/mm] U, genau dann ist U [mm] \cup [/mm] W Unterraum von V
Beweis: durch Widerspruch
->Annahme: wenn U [mm] \not\subset [/mm] W und W [mm] not\subset [/mm] U, genau dann ist U [mm] \cup [/mm] W Unterraum von V
zu zeigen:
(1)wenn U [mm] \not\subset [/mm] W => U [mm] \cup [/mm] W Unterraum von V
(2)wenn W [mm] \not\subset [/mm] U =>U [mm] \cup [/mm] W Unterraum von V
(3)wenn U [mm] \cup [/mm] W Unterraum von V=> U [mm] \not\subset [/mm] W und W [mm] \not\subset [/mm] U
beweis:
zu (1) wenn U [mm] \not\subset [/mm] W => U [mm] \cup [/mm] W Unterraum von V
jetzt müssen ja von U [mm] \cup [/mm] W mit U [mm] \not\subset [/mm] W die Unterraumaxiome nachgeprüft werden:
Unterraumaxiome:
1.)U [mm] \cup [/mm] W [mm] \not= \emptyset
[/mm]
da U und W laut Voraussetzung beide Unterräume sind => [mm] \not= \emptyset
[/mm]
=> [mm] \exists [/mm] u [mm] \in U\W
[/mm]
=> [mm] \exists [/mm] w [mm] \in W\U
[/mm]
=> [mm] \exists [/mm] z [mm] \in [/mm] U [mm] \cup [/mm] W
=>U [mm] \cup [/mm] W [mm] \not= \emptyset
[/mm]
2.) abgeschlossenheit bezüglich der Addition
da U und W wegen U [mm] \not\subset [/mm] W disjunkt sind (also keine gemeinsamen Elemente besitzen) muss zwischen folgenden fällen unterschieden werden:
(1.) u+w [mm] \in [/mm] U
(2.) u+w [mm] \in [/mm] W
doch wie soll ich das jetzt zeigen? meine annahme müsste ja zu einem widerspruch führen. also am ende meines beweises müsste dann irgendwo w [mm] \in [/mm] U oder u [mm] \in [/mm] W stehen, was ein widerspruch zur annahme ist, oder?
ich komm leider nicht drauf wie ich diesen beweis führen muss!
zu dem Unterraumaxiom :abgeschlossenheit bezüglich der multiplikation
hier würde mir ein beweis einfallen, ob der stimmt, weiß ich nicht also:
die 2 möglichen Fälle:
(1.) u*w [mm] \in [/mm] U
(2.) u*w [mm] \in [/mm] W
beweis zu (1.)
wenn u*w [mm] \in [/mm] U => 1/(u*w) /in U => (u*w)^(-1) [mm] \in [/mm] U => u* (u*w)^(-1) [mm] \in [/mm] U => w^(-1) [mm] \in [/mm] U => w [mm] \in [/mm] U
was ein widerspruch zur annahme ist.
hm, dieser beweis kommt mir auch irgendwie komisch vor! darf man das so überhaupt machen?
wenn jetzt hier ein widerspruch rauskommt, dass brauch ich doch die restlichen Unterraumaxiome nichtmehr prüfen, oder? und kan ja dann gleich sagen, dass die annahme falsch ist. stimmen meine überlegungen?
Beweis zu (2)
dieser beweis müsste ja analog wie der zu (1) gehen, also wider ein widerspruch, oder?
Beweis zu (3)
hier weiß ich leider garnicht wie ich den beweis führen soll kann mir da jemand helfen?
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so wenn dies nun alles zu einem wiederspruch geführt hat dann bin ich doch eigentlich fertig. oder hab ich etwas vergessen?
vielen dank für die hilfe
grüße a. bonnert
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Hallo,
> hallo zusammen!!!
>
> ich habe folgende aufgabe zu bearbeiten:
>
> es seien U,W Untervektorräume eines Vektorraums V. Man
> zeige, dass die Vereinigung U [mm]\cup[/mm] W genau dann ein
> Unterraum von V ist, wenn entweder U [mm]\subset[/mm] W oder W
> [mm]\subset[/mm] U.
>
> Ich habe mir zu dieser Aufgabe im laufe des Wochenendes ein
> paas gedanken gemacht und bin mir auch schon recht sicher,
> dass ich verstanden habe wie ich diese Aufgabe lösen
> soll.Jedoch habe ich probleme beim formulieren meiner
> beweise, wär super wenn mir jemand helfen könnte.
>
> also hier meine Überlegungen:
>
> Behauptung: wenn U [mm]\subset[/mm] W oder W [mm]\subset[/mm] U, genau dann
> ist U [mm]\cup[/mm] W Unterraum von V
> Beweis: durch Widerspruch
> ->Annahme: wenn U [mm]\not\subset[/mm] W und W [mm]not\subset[/mm] U, genau
> dann ist U [mm]\cup[/mm] W Unterraum von V
erste anmerkung: du kannst nicht eine aequivalenz-beziehung (genau dann, wenn) durch widerspruch beweisen. du musst zunaechst die aussage in ihre zwei richtungen aufspalten (hin- und rueck), dann kannst du mit widerspruechen anfangen.
> zu zeigen:
> (1)wenn U [mm]\not\subset[/mm] W => U [mm]\cup[/mm] W Unterraum von V
> (2)wenn W [mm]\not\subset[/mm] U =>U [mm]\cup[/mm] W Unterraum von V
> (3)wenn U [mm]\cup[/mm] W Unterraum von V=> U [mm]\not\subset[/mm] W und W
> [mm]\not\subset[/mm] U
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") nein, wenn du das so aufsplittest, machen die aussagen keinen sinn mehr... du musst schon saemtliche aussagen und voraussetzungen zusammen halten.
>
> beweis:
> zu (1) wenn U [mm]\not\subset[/mm] W => U [mm]\cup[/mm] W Unterraum von V
> jetzt müssen ja von U [mm]\cup[/mm] W mit U [mm]\not\subset[/mm] W die
> Unterraumaxiome nachgeprüft werden:
> Unterraumaxiome:
> 1.)U [mm]\cup[/mm] W [mm]\not= \emptyset[/mm]
> da U und W laut Voraussetzung
> beide Unterräume sind => [mm]\not= \emptyset[/mm]
> => [mm]\exists[/mm] u [mm]\in U\W[/mm]
>
> => [mm]\exists[/mm] w [mm]\in W\U[/mm]
> => [mm]\exists[/mm] z [mm]\in[/mm] U [mm]\cup[/mm] W
> =>U [mm]\cup[/mm] W [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> 2.) abgeschlossenheit bezüglich der Addition
> da U und W wegen U [mm]\not\subset[/mm] W disjunkt sind (also
> keine gemeinsamen Elemente besitzen) muss zwischen
> folgenden fällen unterschieden werden:
> (1.) u+w [mm]\in[/mm] U
> (2.) u+w [mm]\in[/mm] W
> doch wie soll ich das jetzt zeigen? meine annahme müsste
> ja zu einem widerspruch führen. also am ende meines
> beweises müsste dann irgendwo w [mm]\in[/mm] U oder u [mm]\in[/mm] W stehen,
> was ein widerspruch zur annahme ist, oder?
> ich komm leider nicht drauf wie ich diesen beweis führen
> muss!
>
> zu dem Unterraumaxiom :abgeschlossenheit bezüglich der
> multiplikation
> hier würde mir ein beweis einfallen, ob der stimmt, weiß
> ich nicht also:
> die 2 möglichen Fälle:
> (1.) u*w [mm]\in[/mm] U
> (2.) u*w [mm]\in[/mm] W
> beweis zu (1.)
> wenn u*w [mm]\in[/mm] U => 1/(u*w) /in U => (u*w)^(-1) [mm]\in[/mm] U => u*
> (u*w)^(-1) [mm]\in[/mm] U => w^(-1) [mm]\in[/mm] U => w [mm]\in[/mm] U
> was ein widerspruch zur annahme ist.
> hm, dieser beweis kommt mir auch irgendwie komisch vor!
> darf man das so überhaupt machen?
>
ich glaube, du musst deinen ansatz nochmal ein wenig ueberdenken bzw. besser strukturieren. Ich versuche dir ein bisschen hilfe zu geben.
zz. [mm] $U\cup [/mm] W$ ist UVR [mm] $\gdw U\subset [/mm] W$ oder [mm] $U\supset [/mm] W$
wie gesagt, nimm dir nun jede richtung getrennt vor. die rueckrichtung ist einfacher, fang mit dieser an. Wir koennen obdA annehmen, dass
[mm] $U\subset [/mm] W$.
Was koennen wir dann aber ueber [mm] $U\cup [/mm] W$ aussagen? wenn dir das nicht direkt einleuchtet, male es dir auf.
hinrichtung: [mm] $U\cup [/mm] W$ ist UVR [mm] $\Rightarrow U\subset [/mm] W$ oder [mm] $U\supset [/mm] W$
das kannst du nun indirekt beweisen. Dafuer negierst du die rechte seite: dh. angenommen [mm] $U\not\subset [/mm] W$ und [mm] $W\not\subset [/mm] U$.
Was heisst das konkret : es gibt ein element [mm] $u_0\in [/mm] U$, das nicht in $W$ ist. genauso gibt es ein element [mm] $w_0\in [/mm] W$, das nicht in $U$ ist.
Wir wollen nun zeigen, dass unter dieser annahme [mm] $U\cup [/mm] W$ kein UVR ist. Ein natuerlicher ansatz waere , sich die vektoren [mm] $u_0$ [/mm] und [mm] $w_0$ [/mm] anzuschauen (aufgrund ihrer sonderrolle). Beide sind in [mm] $U\cup [/mm] W$, dh. ihre summe [mm] $u_0+w_0$ [/mm] muesste das auch sein.
Versuche mal, das auf einen widerspruch zu fuehren.
Mit der rueckrichtung (oben) zusammen bist du dann fertig.
gruss
matthias
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