untermannigfaltig < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:06 So 14.01.2007 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe, aber leider keine Ahnung wie ich da rangehen kann, ich versteh auch nicht so richtig was die Untermannigfaltigkeit ist bzw eine Immersion...
sei [mm] f:]-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}[\to\IR^{2} [/mm] die durch [mm] f(t)=sin2t\vektor{cost\\sint} [/mm] definierte Funktion.
Zeige, das f eine Immersion ist, aber keine Untermannigfaltigkeit.
Kann mir dabei vielleicht jemand helfen???
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Die Formulierung der Aufgabe ist etwas undeutlich. Müßte es nicht heißen: "Zeige, daß [mm]f[/mm] eine Immersion ist, das Bild (!) von [mm]f[/mm] jedoch keine Untermannigfaltigkeit"?
Es sei [mm]M[/mm] das Bild von [mm]f[/mm] (in der Graphik die blaue Punktmenge).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Eindimensionale Untermannigfaltigkeiten sehen lokal, also in kleinen Umgebungen ihrer Punkte, wie topologische Strecken aus. Der "Draht" darf also gebogen sein, er darf sich aber nicht schließen oder an gewissen Punkten überkreuzen. Für die grünen Umgebungen ist das auch der Fall, nicht jedoch für die rote. Egal, wie klein du die rote Umgebung um den Nullpunkt machst, stets sieht es dort aus wie eine Strecke, in die von oben zwei weitere Strecken einmünden. Du bekommst also am Nullpunkt im "Unendlich Kleinen" niemals das Aussehen einer topologischen Strecke. Dieses Verhalten am Nullpunkt verhindert, daß [mm]M[/mm] eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit ist. (Wenn man allerdings den Nullpunkt aus der Menge entfernt, dann wird sie zu einer eindimensionalen Untermannigfaltigkeit.)
Setzt man
[mm]x = \sin{(2t)} \, \cos{t} \, , \ \ y = \sin{(2t)} \, \sin{t}[/mm]
so ergibt sich [mm]\left( x^2 + y^2 \right)^3 - 4x^2y^2 = 0[/mm]. Mit der Funktion
[mm]F(x,y) = \left( x^2 + y^2 \right)^3 - 4x^2y^2[/mm] für [mm]x,y \geq 0[/mm]
gilt dann [mm]F^{-1}(0) = M[/mm]. Vielleicht kannst du mit dieser Darstellung mehr anfangen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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